Come Applicare la Regola del Completamento del Quadrato

2 Metodi:Trasformare un'Equazione da Forma Standard a Forma Parabolica con VerticeRisoluzione di un'Equazione Quadratica

Il completamento del quadrato è un’utile tecnica che consente di riorganizzare un’equazione in una forma facile da visualizzare o anche da risolvere. È possibile completare il quadrato per evitare di utilizzare una formula complicata o per risolvere un’equazione di secondo grado. Se vuoi sapere come fare, ti basta seguire questi passaggi.

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Trasformare un'Equazione da Forma Standard a Forma Parabolica con Vertice

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    Considera come esempio il problema 3 x2 - 4 x + 5.
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    Raccogli il coefficiente del termine al quadrato dai primi due monomi. Nell'esempio si raccoglie un tre e, mettendo una parentesi, si ottiene: 3 (x2 - 4/3 x) + 5. Il 5 rimane fuori perché non lo dividi per 3.
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    Dimezza il secondo termine ed elevalo al quadrato. Il secondo termine, conosciuto anche come termine b dell’equazione, è 4/3. Dimezzalo. 4/3 ÷ 2 o 4/3 x ½ è uguale a 2/3. Ora eleva al quadrato numeratore e denominatore di questo termine frazionario. (2/3)2 = 4/9. Scrivilo.[1]
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    Aggiungi e sottrai questo termine. Ricorda che aggiungendo 0 ad un'espressione non ne modifichi il valore, quindi è possibile aggiungere e sottrarre uno stesso monomio senza incidere sull'espressione. Aggiungi e sottrai 4/9 dentro la parentesi per ottenere la nuova equazione: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.[2]
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    Porta fuori dalla parentesi il termine che hai sottratto. Non porterai fuori -4/9, ma lo moltiplicherai prima per 3. -4/9 x 3 = -12/9 o -4/3. Se il coefficiente del termine di secondo grado x2 è 1, salta questo passaggio.
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    Converti i termini in parentesi in un quadrato perfetto. Adesso ti ritrovi con 3(x2 -4/3x +4/9) in parentesi. Hai trovato 4/9, che è un altro modo per trovare il termine che completa il quadrato. Puoi riscrivere questi termini così: 3(x - 2/3)2. Hai dimezzato il secondo termine e rimosso il terzo. Puoi fare la prova moltiplicando, per controllare se ritrovi tutti i termini dell’equazione.[3]
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    Metti insieme i termini costanti. Hai 3(x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Devi addizionare -4/3 e 5 per ottenere 11/3. Infatti, portando i termini allo stesso denominatore 3, si ottengono -4/3 e 15/3, che insieme fanno 11/3.
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    Questo dà luogo alla forma quadratica del vertice, che è 3 (x - 2/3)2 + 11/3. Puoi rimuovere il coefficiente 3 dividendolo entrambi le parti dell’equazione, (x - 2/3)2 + 11/9. Ora hai la forma quadratica del vertice, che è a( x - h )2 + k, dove k rappresenta il termine costante.

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Risoluzione di un'Equazione Quadratica

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    Considera l’equazione di secondo grado 3x2 + 4x + 5 = 6
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    Combina i termini costanti e mettili sul lato sinistro dell’equazione. I termini costanti sono tutti quei termini che non sono associati una variabile. In questo caso, hai 5 sul lato sinistro e 6 sul lato destro. Devi spostare 6 a sinistra, per cui devi sottrarlo da entrambi i membri dell’equazione. In questo modo avrai 0 sul lato destro (6 - 6) e -1 sul lato sinistro (5 – 6). L’equazione ora dovrebbe essere: 3x2 + 4x - 1 = 0.[4]
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    Raccogli il coefficiente del termine al quadrato. In questo caso è 3. Per raccoglierlo, basta estrarre un 3 e mettere i restanti termini tra parentesi dividendoli per 3. Così si avranno: 3x2 ÷ 3 = x2, 4x ÷ 3 = 4/3x e 1 ÷ 3 = 1/3. L’equazione è diventata: 3(x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
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    Dividi per la costante che hai appena raccolto. Questo significa che puoi sbarazzarti definitivamente di quel 3 fuori dalla parentesi. Poiché si divide per 3 ogni membro dell’equazione, può essere rimosso senza compromettere il risultato. Ora abbiamo x2 + 4/3x - 1/3 = 0
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    Dimezza il secondo termine ed elevalo al quadrato. Successivamente, prendi il secondo termine, 4/3, noto come termine b, e dividilo a metà. 4/3 ÷ 2 o 4/3 x ½ fa 4/6 o 2/3. E 2/3 al quadrato dà 4/9. Quando avrai finito, dovrai scriverlo a sinistra e a destra dell’equazione, poiché essenzialmente stai aggiungendo un nuovo termine e, per mantenere l’equazione bilanciata, deve essere aggiunto a entrambi membri. Adesso abbiamo x2 + 4/3 x + (2/3)2 - 1/3 = (2/3)2
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    Sposta il termine costante sul lato destro dell’equazione. A destra farà + 1/3. Aggiungilo a 4/9, trovando il minimo denominatore comune. 1/3 diventerà 3/9 lo potrai aggiungere a 4/9. Sommati danno 7/9 sul lato destro dell’equazione. A questo punto avremo: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 e quindi x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
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    Scrivi la parte sinistra dell’equazione come quadrato perfetto. Siccome hai già utilizzato una formula per trovare il termine mancante, il già superato la parte più difficile. Tutto quello che devi fare è inserire tra parentesi la x e la metà del secondo coefficiente, mettendoli al quadrato. Avremo (x + 2/3)2. Elevando al quadrato otterremo tre termini: x2 + 4/3 x + 4/9. L’equazione, ora, dovrebbe essere letta come: (x + 2/3)2 = 7/9.
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    Fai la radice quadrata di entrambi i lati. Sul lato sinistro dell’equazione, la radice quadrata di (x + 2/3)2 è semplicemente x + 2/3. A destra, otterrai +/- (√7)/3. La radice quadrata del denominatore, 9, è semplicemente 3 e di 7 è √7. Ricordati di scrivere +/-perché la radice quadrata di un numero può essere positiva o negativa.
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    Isola la variabile. Per isolare la variabile x, sposta il termine costante 2/3 sul lato destro dell’equazione. Ora hai due possibili risposte per x: +/- (√7)/3 - 2/3. Queste sono le tue due risposte. Puoi lasciarle così o calcolare la radice quadrata approssimata di 7 se devi dare una risposta priva del segno radicale.

Consigli

  • Accertati di mettere il + /- nel punto appropriato, altrimenti otterrai solo una soluzione.
  • Anche se sai la formula, esercitati periodicamente con il completamento del quadrato, dimostrando la formula quadratica o risolvendo alcuni problemi pratici. In questo modo non ti dimenticherai come fare quando ne avrai bisogno.

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Categorie: Matematica

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