Come Calcolare il Valore Atteso

3 Parti:Problema ElementareCalcolare il Valore Atteso in un Lancio della MonetinaComprendere il Concetto

Il valore atteso è un concetto che si utilizza in statistica ed è molto importante per decidere quanto utile o dannosa sarà una determinata azione. Per calcolarlo, devi comprendere ogni esito di una situazione e le sue probabilità, cioè le possibilità che un determinato caso avvenga. Questa guida ti aiuterà nel procedimento grazie a un paio di problemi di esempio e ti insegnerà il concetto del valore atteso.

Parte 1
Problema Elementare

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    Prendi confidenza con il problema. Prima di pensare ai possibili esiti e probabilità che sono coinvolte nel problema, accertati di averlo compreso. Ad esempio, considera un gioco di lancio dei dadi che costa 10 euro a giocata. Viene lanciato un dado a sei facce una sola volta e le tue vincite dipendono dal lato che si presenta. Se esce il 6 prendi 30 euro; se esce il 5 ne ottieni 20, mentre sei perdente per ogni altro numero.
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    Fai l’elenco dei possibili risultati. In questo modo avrai un’utile lista degli esiti possibili del gioco. Nell’esempio che abbiamo considerato, ci sono sei possibilità, che sono: numero 1 e perdi 10 euro, numero 2 e perdi 10 euro, numero 3 e perdi 10 euro, numero 4 e perdi 10 euro, numero 5 e vinci 10 euro, numero 6 e guadagni 20 euro.
    • Nota che ogni esito è di 10 euro inferiore rispetto a quanto descritto in precedenza, dato che devi comunque pagare 10 euro per ogni giocata, a prescindere dal risultato.
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    Determina le probabilità per ogni risultato. In questo caso sono tutte uguali per i sei numeri possibili. Quando lanci un dado a sei facce, la probabilità che esca un determinato numero è 1 su 6. Per rendere questo valore semplice da scrivere e calcolare, puoi trasformarlo da frazione (1/6) a decimale grazie alla calcolatrice: 0,167. Scrivi la probabilità vicino a ogni esito, soprattutto se stai risolvendo un problema con diverse probabilità per ogni risultato.
    • Se digiti il valore 1/6 nella tua calcolatrice, allora dovresti ottenere un risultato simile a 0,166667. Vale la pena arrotondare il numero a 0,167 per rendere il procedimento più semplice. Si tratta di un valore prossimo al risultato corretto, così i tuoi calcoli saranno comunque precisi.
    • Se vuoi un risultato davvero preciso e hai una calcolatrice che preveda le parentesi, puoi digitare il valore (1/6) al posto di 0,167 quando procedi con le formule qui descritte.
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    Annota il valore per ogni esito. Moltiplica la quantità di denaro correlata a ogni numero del dado per la probabilità che questo esca e troverai quanti euro contribuiscono al valore atteso. Ad esempio, il “premio” correlato al numero 1 è -10 euro (dato che perdi) e la possibilità che questo valore esca è 0,167. Per tale ragione il valore economico legato al numero 1 è (-10) * (0,167).
    • Non è necessario calcolare questi valori, per il momento, se hai una calcolatrice che può gestire simultaneamente più operazioni. Otterrai una soluzione più precisa se inserirai il risultato nell’intera equazione successivamente.
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    Somma fra loro i vari risultati per trovare il valore atteso dell’evento. Per tenere in considerazione sempre l’esempio precedente, il valore atteso del gioco dei dadi è: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167), cioè - 1,67€. Per tale ragione, quando giochi ai dadi, dovresti aspettarti di perdere circa 1,67 euro a ogni manche.
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    Comprendi le implicazioni del calcolo del valore atteso. Nell’esempio che abbiamo appena descritto, questo indica che dovrai aspettarti di perdere 1,67 euro a ogni giocata. Questo è un risultato impossibile per ogni puntata, dato che puoi solo perdere 10 euro oppure guadagnarne 10 o 20. Tuttavia, il valore atteso è un concetto utile per prevedere, nel lungo termine, l’esito medio del gioco. Puoi considerare il valore atteso anche come il costo (o il beneficio) del gioco: dovresti decidere di giocare solo se il divertimento vale il prezzo di 1,67 euro a giocata.
    • Più la situazione si ripete e più preciso sarà il valore atteso e si avvicinerà alla media degli esiti. Ad esempio, potresti giocare 5 volte di fila e perdere ogni volta con un dispendio medio di denaro di 10 euro. Tuttavia, se puntassi per 1000 volte o più, il risultato medio dei tuoi incassi dovrebbe avvicinarsi al valore atteso di -1,67 euro a giocata. Questo principio è detto "legge dei grandi numeri".

Parte 2
Calcolare il Valore Atteso in un Lancio della Monetina

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    Usa questo calcolo per conoscere il numero medio di monete che devi lanciare per trovare uno specifico schema risultante. Ad esempio, puoi usare questa tecnica per sapere quante volte devi lanciare una monetina per ottenere due “testa” di fila. Il problema è leggermente più complesso del precedente; per tale ragione rileggi la prima parte del tutorial, se ancora non sei sicuro con il calcolo del valore atteso.
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    Chiamiamo “x” il valore che stiamo cercando. Supponiamo che vogliamo trovare il numero di volte (in media) che si deve lanciare una moneta per ottenere due “testa” consecutivamente. Dovremo impostare un’equazione che ci aiuterà a trovare la soluzione che chiameremo “x”. Costruiremo la formula un po' per volta, per ora abbiamo:
    • x = ___
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    Pensa a cosa accadrebbe se al primo lancio uscisse “croce”. Quando tiri una monetina, per metà delle volte, al tuo primo lancio otterrai “croce”. Se questo dovesse accadere, allora avrai "sprecato" un lancio, sebbene le tue possibilità di ottenere due “testa” di fila non sono cambiate per nulla. Proprio come poco prima del lancio, dovresti aspettarti di tirare la monetina un certo numero di volte prima di ottenere due volte testa. In altri termini, dovrai aspettarti di eseguire “x” lanci più 1 (quello che hai appena fatto). In termini matematici puoi dire che "nella metà dei casi dovrai lanciare la moneta x volte più 1":
    • x = (0,5)(x+1) + ___
    • Lasciamo lo spazio vuoto, in quanto continueremo ad aggiungere altri dati man mano che valuteremo le altre situazioni.
    • Puoi usare le frazioni al posto dei numeri decimali, se ti risulta più facile. Scrivere 0,5 è equivalente a ½.
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    Valuta cosa accadrà se al primo lancio ottieni “testa”. Ci sono 0,5 (o ½) possibilità che al primo lancio ottieni il lato con la “testa”. Questa eventualità sembra portarti più vicino al tuo obiettivo di ottenere due “testa” consecutive, ma puoi quantificare esattamente quanto sarai più vicino? Il modo più semplice per farlo è quello di pensare agli esiti possibili con il secondo lancio:
    • Se al secondo lancio ottieni “croce”, allora ti ritroverai da capo con due lanci “sprecati”.
    • Se il secondo lancio fosse “testa”, allora avresti realizzato il tuo obiettivo!
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    Impara come calcolare le probabilità che due eventi accadano. Sappiamo che un lancio ha 0,5 possibilità di mostrare il lato “testa”, ma quante sono le probabilità che due lanci consecutivi diano lo stesso risultato? Per trovarle, moltiplica le probabilità di ciascun lato fra loro. In questo caso: 0,5 x 0,5 = 0,25. Questo valore indica anche le possibilità di ottenere testa e poi croce, dato che entrambi hanno il 50% di probabilità di presentarsi.
    • Leggi questo tutorial che ti spiega come moltiplicare i numeri decimali fra loro, se non sai come eseguire l’operazione 0,5 x 0,5.
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    Aggiungi il risultato per il caso "testa seguita da croce" nell’equazione. Ora che conosciamo le probabilità di questo esito, possiamo estendere l’equazione. Ci sono 0,25 (o ¼) probabilità di lanciare due volte la monetina senza ottenere un risultato utile. Usando la stessa logica di prima, quando ipotizzavamo che al primo lancio uscisse una “croce”, avremo ancora bisogno di un numero di lanci “x” per ottenere il caso desiderato, più i due che abbiamo già “sprecato”. Trasformando in linguaggio matematico questo concetto avremo: (0,25)(x+2) che aggiungiamo all’equazione:
    • x = (0,5)(x+1) + (0,25)(x+2) + ___
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    Ora aggiungiamo il caso "testa, testa" alla formula. Quando ottieni due lanci consecutivi con il lato testa, allora hai raggiunto il tuo scopo. Hai ottenuto quello che desideravi in soli due lanci. Come abbiamo visto in precedenza, le possibilità che questo accada sono esattamente 0,25, quindi, in tal caso, aggiungiamo (0,25)(2). La nostra equazione ora è completa ed è:
    • x = (0,5)(x+1) + (0,25)(x+2) + (0,25)(2).
    • Se temi di non aver pensato a tutti i possibili esiti dei lanci, allora c’è un modo semplice per verificare la completezza della formula. Il primo numero in ogni "frammento" dell’equazione rappresenta le probabilità che si manifesti un evento. La somma di questi numeri deve essere sempre pari a 1. Nel nostro caso: 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, per cui l’equazione è completa.
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    Semplifica l’equazione. Cerca di renderla più semplice svolgendo le moltiplicazioni. Ricordati che se noti dei dati fra parentesi come (0,5)(x+1), allora devi moltiplicare ogni termine della seconda parentesi per 0,5 e otterrai 0,5x + (0,5)(1) cioè 0,5x + 0,5. Prosegui in questo modo per tutti i frammenti dell’equazione e poi combinali fra loro nel modo più semplificato possibile:
    • x = 0,5x + (0,5)(1) + 0,25x + (0,25)(2) + (0,25)(2).
    • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5.
    • x = 0,75x + 1,5.
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    Risolvi l’equazione per x. Proprio come in qualunque altra equazione, il tuo scopo è di trovare il valore di x isolando l’incognita su un lato del segno uguale. Ricorda che il significato di x è "il numero medio di lanci da eseguire per ottenere due teste consecutive". Quando avrai trovato il valore di x, avrai anche la soluzione al problema.
    • x = 0,75x + 1,5.
    • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x.
    • 0,25x = 1,5.
    • (0,25x)/(0,25) = (1,5)/(0,25)
    • x = 6.
    • In media, dovrai aspettarti di lanciare sei volte la monetina prima di ottenere due testa di fila.

Parte 3
Comprendere il Concetto

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    Comprendi il significato del concetto di valore atteso. Non è necessariamente il risultato più probabile da ottenere. Dopotutto, a volte un valore atteso è addirittura impossibile, ad esempio potrebbe essere pari a -5 euro in un gioco che prevede solo premi da 10 €. Questo dato esprime quanto valore dovresti dare all’evento. Nel caso di un gioco il cui valore atteso sia maggiore di 5 euro, dovresti giocare solo se ritieni che il tempo e lo sforzo valgano 5 euro. Se un altro gioco ha un valore atteso pari a -20 euro, allora dovresti giocare solo se il divertimento che ne ottieni vale 20 euro persi.
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    Comprendi il concetto di eventi indipendenti. Nella quotidianità, molte persone pensano di avere un giorno fortunato solo quando accadono cose belle e potrebbero aspettarsi che una giornata del genere riservi molte gradite sorprese. D’altro canto, la gente crede che in un giorno sfortunato sia già successo il peggio e che non si possa avere una sorte peggiore di così, almeno per il momento. Da un punto di vista matematico, questo non è un pensiero accettabile. Se lanci una normale monetina, esiste sempre 1 possibilità su 2 di avere testa o croce. Non importa se alla fine di 20 lanci avrai ottenuto solo testa, croce o un mix di questi esiti: il lancio successivo avrà sempre il 50% di possibilità. Ogni lancio è del tutto "indipendente" dai precedenti e non ne viene influenzato.
    • La convinzione di aver avuto una serie fortunata o sfortunata di lanci (o di altri eventi casuali e indipendenti) o che hai dato fondo alla tua cattiva sorte e che da questo momento avrai solo esiti fortunati, è detta fallacia dello scommettitore. È stata definita così dopo aver notato la tendenza delle persone a prendere decisioni rischiose o folli durante la scommessa quando sentono di avere una "serie fortunata" oppure che la fortuna "è pronta a girare".
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    Comprendi la legge dei grandi numeri. Forse potresti pensare che il valore atteso sia un concetto poco utile, dato che, raramente, sembra dirti il risultato di un evento. Se calcoli il valore atteso della roulette e ottieni -1€ e poi giochi tre partite, il più delle volte potresti ritrovarti ad aver perso 10 euro, averne guadagnati 60 oppure altre somme. La "legge dei grandi numeri" spiega perché il valore atteso è molto più utile di quanto si pensi: più partite giochi e più i tuoi risultati si avvicinano al valore atteso (il risultato medio). Quando consideri un grande numero di eventi, allora il risultato totale molto probabilmente è vicino al valore atteso.

Consigli

  • Per le situazioni in cui potrebbero esserci esiti diversi, puoi creare un foglio excel al computer per procedere al calcolo del valore atteso degli esiti e delle loro probabilità.
  • I calcoli di esempio di questo tutorial, che hanno preso in considerazione gli euro, sono validi per qualunque altra valuta.

Cose che ti Serviranno

  • Matita
  • Carta
  • Calcolatrice

Informazioni sull'Articolo

Categorie: Matematica

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