Come Calcolare l'Incertezza

3 Metodi:Imparare le BasiCalcolare l'Incertezza delle Misurazioni MultipleEseguire Operazioni Aritmetiche con Misurazioni Approssimate

Ogni volta che prendi una misura durante una raccolta di dati, puoi presupporre l'esistenza di un valore "reale" che rientra nell'intervallo delle misurazioni effettuate. Per calcolarne l'incertezza, sarà necessario trovare la migliore stima della tua misura, dopo di che potrai considerare i risultati aggiungendo o sottraendo la misura dell'incertezza. Se vuoi sapere come calcolare l'incertezza, basta seguire questi passaggi.

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Imparare le Basi

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    Esprimi l'incertezza nella sua forma corretta. Supponiamo di stare misurando un bastone che cade da 4,2 cm, centimetro più, centimetro meno. Questo significa che il bastone cade "quasi" da 4,2 cm, ma, in realtà, potrebbe essere un valore un appena più piccolo o più grande, con l'errore di un millimetro.
    • Esprimi l'incertezza in questo modo: 4,2 cm ± 0,1 cm. Si può anche scrivere: 4,2 cm ± 1 mm, siccome 0,1 cm = 1 mm.
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    Arrotonda sempre la misura sperimentale alla stessa cifra decimale dell'incertezza. Le misure che prevedono un calcolo dell'incertezza in genere vengono arrotondate a una o due cifre significative. Il punto più importante è che dovresti arrotondare la misura sperimentale alla stessa cifra decimale dell'incertezza per mantenere le misure coerenti.
    • Se la misura sperimentale fosse di 60 cm, allora l'incertezza dovrebbe essere arrotondata anch'essa a un numero intero. Ad esempio, l'incertezza per questa misura potrebbe essere 60 cm ± 2 cm, ma non 60 cm ± 2,2 cm.
    • Se la misura sperimentale è 3,4 cm, allora il calcolo dell'incertezza dovrebbe essere arrotondato a 0,1 cm. Ad esempio, l'incertezza per questa misura può essere 3,4 cm ± 0,7 cm, ma non 3,4 cm ± 1 cm.
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    Calcola l'incertezza da una singola misurazione. Supponiamo che si stia misurando il diametro di una palla rotonda con un righello. Questo compito è davvero arduo, perché è difficile dire esattamente dove sono i bordi esterni della palla con il righello, poiché sono curvi, non dritti. Diciamo che il righello può trovare la misura al decimo di centimetro: non significa che puoi misurare il diametro con questo livello di precisione.[1]
    • Studia i bordi della palla e il righello per dare un senso di quanto sia affidabile misurare il suo diametro. In un righello standard, le marcature di 5 mm si vedono chiaramente, ma supponiamo che tu possa ottenere un'approssimazione migliore. Se ti sembra di poter scendere a un'accuratezza di 3 mm, allora l'incertezza è di 0,3 cm.
    • Ora, misura il diametro della sfera. Supponiamo di ottenere circa 7,6 cm. Basta dichiarare la misura stimata insieme all'incertezza. Il diametro della sfera è 7,6 cm ± 0,3 cm.
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    Calcola l'incertezza di una singola misurazione di più oggetti. Supponiamo che si stia misurando una pila di 10 case per CD, che sono tutti della stessa lunghezza. Vuoi trovare la misura dello spessore di un unico case. Questa misura sarà così piccola che la tua percentuale di incertezza sarà abbastanza alta. Ma quando si misurano i dieci CD accatastati insieme, puoi solo dividere il risultato e l'incertezza per il numero dei CD, in modo da trovare lo spessore di un unico case.[2]
    • Supponiamo che tu non riesca ad andare oltre gli 0,2 cm utilizzando un righello. In tal modo la tua incertezza è ± 0,2 cm.
    • Supponiamo che tutti i CD impilati abbiano uno spessore di 22 cm.
    • Ora, basta dividere la misura e l'incertezza per 10, che è il numero dei CD. 22 cm / 10 = 2,2 cm e 0,2 cm/10 = 0,02 cm. Questo significa che lo spessore del case di un singolo CD è di 2,20 cm ± 0,02 cm.
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    Prendi le tue misure più volte. Per aumentare la certezza delle tue misure, se stai misurando la lunghezza dell'oggetto o la quantità di tempo necessaria perché un oggetto copra una certa distanza, puoi aumentare le probabilità di ottenere una misurazione accurata se prendi misure diverse. Trovare la media delle tue misure multiple ti aiuterà a ottenere un quadro più preciso della misurazione durante il calcolo dell'incertezza.

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Calcolare l'Incertezza delle Misurazioni Multiple

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    Prendi diverse misurazioni. Supponi di voler calcolare quanto tempo impiega una palla a cadere a terra dall'altezza di un tavolo. Per ottenere i migliori risultati, dovrai misurare la palla mentre cade dalla parte superiore del tavolo almeno un paio di volte... diciamo cinque. Poi dovrai trovare la media delle cinque misure e aggiungere o sottrarre la deviazione standard da quel numero per ottenere i risultati più attendibili.[3]
    • Supponiamo che tu abbia misurato i seguenti cinque tempi: 0,43, 0,52, 0,35, 0,29 e 0,49 s.
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    Trova la media sommando le cinque diverse misure e dividendo il risultato per 5, la quantità di misurazioni effettuate. 0,43 + 0,52 + 0,35 + 0,29 + 0,49 = 2,08. Adesso dividi 2,08 per 5. 2,08/5 = 0,42. Il tempo medio è di 0,42 s.
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    Trova la varianza di queste misure. Per fare questo, in primo luogo, trova la differenza tra ciascuna delle cinque misure e la media. Per fare questo, basta sottrarre la misura da 0,42 s. Qui ci sono le cinque differenze:[4]
    • 0,43 s - 0,42 s = 0,01 s
      • 0,52 s - 0,42 s = 0,1 s
      • 0,35 s - 0,42 s = - 0,07 s
      • 0,29 s - 0,42 s = - 0,13 s
      • 0,49 s - 0,42 s = 0,07 s
      • Ora devi sommare i quadrati di queste differenze:
        (0,01 s)2 + (0,1 s)2 + (- 0,07 s)2 + (- 0,13 s)2 + (0,07 s)2 = 0,037 s.
      • Trovare la media della somma di questi quadrati dividendo il risultato per 5. 0,037 s/5 = 0,0074 s.
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    Trova la deviazione standard. Per trovare la deviazione standard, semplicemente trova la radice quadrata della varianza. La radice quadrata di 0,0074 è 0,09, quindi la deviazione standard è 0,09 s.[5]
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    Scrivi la misura finale. Per fare questo, semplicemente metti insieme la media delle misure con la deviazione standard. Poiché la media delle misurazioni è 0,42 s e la deviazione standard è 0,09 s, la misura finale è 0,42 s ± 0,09 s.

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Eseguire Operazioni Aritmetiche con Misurazioni Approssimate

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    Addiziona misure approssimate. Per addizionare misure approssimate, somma le misure stesse e anche le loro incertezze:[6]
    • (5 cm ± 0,2 cm) + (3 cm ± 0,1 cm) =
    • (5 cm + 3 cm) ± (0,2 cm + 0,1 cm) =
    • 8 cm ± 0,3 cm
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    Sottrai misure approssimate. Per sottrarre delle misure approssimate, sottraile e poi aggiungi le loro incertezze:[7]
    • (10 cm ± 0,4 cm) - (3 cm ± 0,2 cm) =
    • (10 cm - 3 cm) ± (0,4 cm + 0,2 cm) =
    • 7 cm ± 0,6 cm
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    Moltiplica misure approssimate. Per moltiplicare le misure incerte, moltiplicale semplicemente e aggiungi le loro relative incertezze (sotto forma di percentuale). [8] Calcolare l'incertezza nelle moltiplicazioni non funziona con i valori assoluti, come nelle addizioni e nelle sottrazioni, ma con quelli relativi. Ottieni l'incertezza relativa dividendo l'incertezza assoluta per un valore misurato e poi moltiplicando per 100 per avere la percentuale. Per esempio:
    • (6 cm ± 0,2 cm) = (0,2 / 6) x 100 e aggiunti un segno %. Il risultato è 3,3%
      Quindi:
    • (6 cm ± 0,2 cm) x (4 cm ± 0,3 cm) = (6 cm ± 3,3% ) x (4 cm ± 7,5%)
    • (6 cm x 4 cm) ± (3,3 + 7,5) =
    • 24 cm ± 10,8 % = 24 cm ± 2,6 cm
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    Dividi misure approssimate. Per dividere le misure incerte, basta dividerne i rispettivi valori e aggiungere le loro relative incertezze (lo stesso processo visto per le moltiplicazioni):[9]
    • (10 cm ± 0,6 cm) ÷ (5 cm ± 0,2 cm) = (10 cm ± 6%) ÷ (5 cm ± 4%)
    • (10 cm ÷ 5 cm) ± (6% + 4%) =
    • 2 cm ± 10% = 2 cm ± 0,2 cm
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    Aumenta in modo esponenziale una misura incerta. Per aumentare in modo esponenziale una misura incerta, è sufficiente mettere la misura alla potenza indicata e moltiplicare l'incertezza per quella potenza:[10]
    • (2,0 cm ± 1,0 cm)3 =
    • (2,0 cm)3 ± (1,0 cm) x 3 =
    • 8,0 cm ± 3 cm

Consigli

  • Puoi riportare i risultati e l'incertezza standard per tutti i risultati nel loro complesso o per ogni risultato all'interno di un insieme di dati. Come regola generale, i dati provenienti da misure multiple sono meno accurati rispetto ai dati estratti direttamente dalle singole misurazioni.

Avvertenze

  • La scienza ottimale non discute mai di “fatti” o “verità”. Anche se la misurazione è molto probabile che rientri nel tuo intervallo di incertezza, non è garantito che sia sempre così. La misurazione scientifica accetta implicitamente la possibilità di sbagliare.
  • L'incertezza così descritta è applicabile solo nei casi statistici normali (di tipo gaussiano, con andamento a forma di campana). Altre distribuzioni richiedono metodologie diverse per descrivere le incertezze.

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Categorie: Matematica

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