Come Dimostrare il Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora ti permette di trovare la lunghezza del terzo lato di un triangolo rettangolo quando gli altri due sono noti. E molto di più.
Il suo nome si deve a Pitagora di Samo, che lo scoprì e lo dimostrò. Pitagora visse intorno al 550 a.C. in Grecia. Non è necessario credere che il teorema sia vero, si può dimostrare, quindi tu sai che lo è.

Passaggi

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    Supponiamo di avere quattro triangoli rettangoli congruenti (quelli grigi della figura). Diciamo che hanno i cateti di lunghezza a e b e che l’ipotenusa è lunga c.

    Il teorema di Pitagora dice che in un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Quindi ciò che devi dimostrare è

    a2 + b2 = c2
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    Disponi i triangoli in modo da formare un quadrato di lato (a+b), come vedi nella figura qui sopra.
    • La figura verde creata dai triangoli sembra un quadrato. Ma lo è davvero?
    • Ha quattro lati uguali, la lunghezza è sempre c.
    • Puoi ruotare di 90 gradi l’intera figura e sarà sempre la stessa. Puoi ripetere questa operazione tutte le volte che vuoi. Questo è possibile solo se i quattro angoli sono uguali.
    • Se hai quattro lati uguali e quattro angoli uguali, allora quello è per forza un quadrato.
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    Ora disponi gli stessi quattro triangoli nello stesso quadrato ma in modo diverso, come vedi in figura.
    • I quadrati blu hanno lati di lunghezza b, i quadrati rossi hanno lati di lunghezza a.
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    Ora confronta le due disposizioni.
    • L’area totale delle due disposizioni è la stessa. In entrambi i casi abbiamo usato un quadrato di lato (a+b).
    • In entrambe le disposizioni abbiamo parzialmente occupato l’area con gli stessi quattro triangoli rettangoli che non si sovrappongono.
    • Questo significa che anche l’area non occupata dai triangoli deve essere uguale per entrambe le disposizioni.
    • Questo significa che l’area del quadrato blu e quella del quadrato rosso prese insieme devono essere uguali all’area del quadrato verde.
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    L’area blu è a2, l’area rossa è b2 e l’area verde è c2.
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    In breve: a2 + b2 = c2. Ecco dimostrato il teorema di Pitagora!

Consigli

  • Questo vale anche all’inverso. Se il teorema di Pitagora si applica a un triangolo diciamo con lati di lunghezza 3, 4 e 5, da qualche parte in quel triangolo ci dovrà essere un angolo retto!
  • Ci sono almeno 367 modi per dimostrare il teorema. Questo è uno dei più semplici.
  • Ci sono infinite triplette pitagoriche in cui le misure dei lati del triangolo sono numeri interi. Tuttavia 3, 4, 5 e 5, 12, 13 sono i preferiti dagli insegnanti di matematica.
  • Puoi trovare altre dimostrazioni su proofwiki. Non si trovano tutti gli argomenti del liceo, ma ci stanno lavorando.
  • Il teorema di Pitagora si applica solo ai triangoli rettangoli.

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Categorie: Matematica

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