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L'insieme di Mandelbrot è costituito da punti tracciati su un piano complesso in maniera da formare un frattale: un'impressionante figura geometrica dove ogni parte è una copia in miniatura dell'intero. Era possibile vedere le affascinanti immagini nascoste nell'insieme di Mandelbrot fin dal XVI secolo, grazie alla comprensione che aveva Rafael Bombelli dei numeri immaginari... ma fu solo dopo che Benoit Mandelbrot e altri iniziarono a esplorare i frattali con l'aiuto dei computer che questo universo segreto venne svelato.


Ora che sappiamo della sua esistenza, possiamo affrontarlo in un modo più “primitivo”: a mano! Ecco qui una maniera di visualizzare una rozza rappresentazione dell'insieme, con l'unico scopo di capire come viene realizzato; potrai quindi valutare meglio le rappresentazioni che puoi ottenere utilizzando i tanti programmi open source disponibili, o che puoi visualizzare su CD-ROM e DVD.

Passaggi

  1. 1
    Comprendi la formula di base, spesso espressa come z = z2 + c. Significa semplicemente che, per ogni punto nell'universo di Mandelbrot che vogliamo vedere, continuiamo a calcolare il valore di z finché non si verifica una delle due condizioni; poi lo coloriamo per mostrare quanti calcoli abbiamo fatto. Non preoccuparti! Diventerà tutto chiaro nei passaggi seguenti.
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    Prendi tre matite, pastelli o pennarelli di colori differenti, oltre a una matita o una penna di colore nero per tracciare lo schema. La ragione per cui ci servono tre colori è che faremo una prima approssimazione con non più di tre iterazioni (o passaggi: in altre parole, applicando la formula fino a tre volte per ogni punto):
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    Disegna con il pennarello nero una grande tabella per il tris di tre quadrati per tre, su un pezzo di carta.
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    Contrassegna (sempre in nero) il quadrato centrale (0,0). Questo è il valore costante (c) del punto nel centro esatto del quadrato. Diciamo ora che ogni quadrato è largo 2 unità, quindi somma e/o sottrai 2 ai/dai valori di x e y di ogni quadrato, essendo x e y rispettivamente il primo e il secondo numero. Fatto questo, il risultato sarà quello mostrato qui. Seguendo le celle orizzontalmente, i valori di y (il secondo numero) saranno invariati; seguendole invece verticalmente, lo saranno i valori di x (il primo numero).
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    Calcola il primo passaggio, o iterazione, della formula. Come il computer (in effetti, il significato originario di questa parola è "persona che computa"), sei in grado di farlo da solo. Cominciamo da questi presupposti:

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    Proviamo con un quadrato tre volte più grande, di 9 per 9, ma manteniamo un massimo di tre iterazioni.
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    Inizia con la terza fila dall'alto, perché è qui che la cosa diventa subito interessante.

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    Continua a calcolare ogni casella finché non è fuggita o non hai raggiunto il numero massimo di iterazioni (il numero di colori che stai usando: tre, in questo esempio), livello al quale la colorerai. Ecco come si presenta la matrice di 9 per 9 dopo tre iterazioni in ogni quadrato... A quanto pare, stiamo scoprendo qualcosa!
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    Ripeti la stessa matrice con altri colori (iterazioni) per mostrare i pochi livelli successivi, o, meglio ancora, disegna una matrice molto più grande per un progetto più a lungo termine! Puoi ottenere immagini più accurate:

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Consigli

  • Perché z2 = (x2-y2, 2xy)?

    • Per moltiplicare due numeri complessi come (a,b) con (c,d), usa la seguente formula, spiegata in questo articolo di Mathworld: (a,b)(c,d) = (ac - bd, bc + ad)
    • Ricorda che un numero complesso è formato da una parte "reale" e da una "immaginaria"; quest'ultima è un numero reale moltiplicato per la radice quadrata di 1 negativo, spesso chiamato i. Il numero complesso (0,0), ad esempio, è 0+0i, e (-1,-1) è (-1) + (-1 * i).
    • Ci stai ancora seguendo? Ricorda che i termini a e c sono reali, mentre b e d sono immaginari. Quindi, quando i termini immaginari vengono moltiplicati tra loro, la radice quadrata di 1 negativo moltiplicata per se stessa dà 1 negativo, annullando il risultato e rendendolo reale; al contrario, i numeri ad e bc rimangono immaginari, perché la radice quadrata di 1 negativo è ancora un termine di tali prodotti. Di conseguenza, ac - bd costituiscono la parte reale, mentre bc + ad quella immaginaria.
    • Dal momento che stiamo elevando i numeri al quadrato invece che moltiplicarne tra loro due differenti, possiamo semplificare un po'; visto che a = c e b = d, abbiamo come prodotto (a2-b2, 2ab). E, dato che stiamo associando il "piano complesso" al "piano cartesiano", con l'asse x che rappresenta il "reale" e l'asse y che rappresenta l'"immaginario", lo descriveremo anche come (x2-y2, 2xy).
  • Se stai calcolando ripetutamente una casella e ti accorgi che un risultato corrisponde esattamente a uno che hai già ottenuto per la stessa casella, sai di essere entrato in un circolo infinito; quella casella non fuggirà mai! Puoi quindi prendere una scorciatoia, colorare la casella con il tuo colore finale e passare alla successiva; (0,0) è, ovviamente, una di queste caselle.
  • Vuoi sapere di più riguardo alla determinazione del valore assoluto di un numero complesso senza faticare con i calcoli?

    • Il valore assoluto di un numero complesso (a,b) è la radice quadrata di a2 + b2, la stessa della formula del triangolo rettangolo, perché a e b vengono rappresentati sul reticolo cartesiano (le coordinate x e y, rispettivamente) ad angolo retto tra loro. Di conseguenza, visto che sappiamo che l'insieme di Mandelbrot è limitato al valore di 2, e che il quadrato di 2 è 4, possiamo evitare di pensare alle radici quadrate semplicemente vedendo se x2+y2 >= 4.
    • Se uno dei cateti di un triangolo rettangolo è di lunghezza >=2, allora anche l'ipotenusa (lato diagonale) deve essere più lungo di 2. Se non capisci il perché, disegna alcuni triangoli rettangoli su un reticolo cartesiano e la cosa diventerà ovvia; oppure vedila in questo modo: 22=4 e, se a questo sommiamo un altro numero positivo (elevare al quadrato un numero negativo dà sempre come risultato un numero positivo), non possiamo ottenere qualcosa che sia meno di 4. Quindi, se il componente x o y di un numero complesso è di grandezza uguale o superiore a 2, il valore assoluto di tale numero è uguale o superiore a 2, ed è fuggito dall'insieme di Mandelbrot.
  • Per calcolare la "larghezza virtuale" di ogni casella, dividi il "diametro virtuale" per il "numero di caselle meno uno". Negli esempi in alto usiamo un diametro virtuale di 4, perché vogliamo mostrare tutto all'interno del raggio di 2 (l'insieme di Mandelbrot è limitato dal valore di 2). Per l'approssimazione di lato 3, coincide con 4 / (3 - 1), che è 4 / 2, che a sua volta corrisponde a 2. Per il quadrato di lato 9, è 4 / (9 - 1), che è 4 / 8, che a sua volta corrisponde a ‘’’0,5’’’. Usa la stessa dimensione virtuale della casella sia per l'altezza che per la larghezza, anche se fai un lato più lungo dell'altro; in caso contrario, l'insieme risulterà deformato.
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Avvertenze

  • La matematica può dare assuefazione, come qualunque altra cosa, ma probabilmente non ti danneggerà il fegato né ti causerà il cancro ai polmoni.
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Riferimenti

  1. La fonte javascript di queste tabelle; clicca le caselle per calcolare z e colorarle. Nota: funziona solo con un browser che supporta DOM, non Internet Explorer. Se funziona con il tuo browser, puoi visualizzare il valore aggiornato di z per ogni click cambiando display=c nell'URL con display=z, e puoi "barare" cliccando Auto-complete. Per altre opzioni vedi i commenti nella fonte.
  2. Questa ricerca è stata resa possibile, in parte, grazie a una sovvenzione da parte di City of the Sun, anche se le specifiche della ricerca non sono state coordinate né sostenute dal COSF.
  3. Insieme di Mandelbrot
  4. Rafael Bombelli, uno dei primi a spiegare i numeri immaginari.
  5. Benoit Mandelbrot
  6. Imaginary numbers
  7. Frattale

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Categorie: Matematica
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