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Svolgere delle dimostrazioni matematiche può essere una delle cose più difficili da fare per gli studenti. I laureandi in matematica, informatica o altri campi correlati probabilmente incontreranno le dimostrazioni a un certo punto. Seguendo semplicemente alcune linee guida potrai cancellare il dubbio della validità della tua dimostrazione.

Passaggi

  1. 1
    Cerca di comprendere che la matematica utilizza informazioni che sai già, soprattutto assiomi o risultati di altri teoremi.
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    Scrivi ciò che è dato, così come ciò che devi provare. Significa che devi partire da ciò che hai, utilizzare altri assiomi, teoremi o calcoli che sai già essere veri per arrivare a quello che vuoi dimostrare. Per capire bene devi poter ripetere e parafrasare il problema in almeno 3 modi diversi: per puri simboli, con diagrammi di flusso e usando le parole.
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    Poniti delle domande mentre procedi. Perché questo è così? e C'è un modo per rendere questo falso? sono buone domande per ogni affermazione o richiesta. Queste domande ti verranno chieste dal tuo professore ad ogni passaggio e, se non potrai verificarne una, il tuo voto si abbasserà. Sostieni ogni passaggio logico con una motivazione! Giustifica il tuo procedimento.
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    Assicurati che la dimostrazione avvenga ad ogni singolo passaggio. C’è bisogno di passare da un’affermazione logica all’altra, con il supporto di ogni passaggio, così che non ci sia motivo di dubitare della validità della dimostrazione. Dovrebbe essere un procedimento costruzionista, come quando si costruisce una casa: ordinato, sistematico e con un progresso correttamente regolato. C'è una prova grafica del teorema di Pitagora, che si fonda su un semplice procedimento [1].
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    Chiedi al tuo professore o al compagno di classe se hai domande. È bene fare domande ogni tanto. È il processo di apprendimento che lo richiede. Ricorda: non esistono domande stupide.
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    Decidi la fine della dimostrazione. Ci sono diversi metodi per farlo:
    • C.V.D., cioè come volevasi dimostrare. Q.E.D., quod erat demonstrandum, in latino, sta per ciò che doveva essere dimostrato. Tecnicamente, è appropriato solo quando l'ultima istruzione della dimostrazione è di per sé la proposizione da dimostrare.
    • Un punto elenco, un quadrato riempito alla fine della dimostrazione.
    • R.A.A (reductio ad absurdum, tradotto come riportare all'assurdo) è per le dimostrazioni indirette o per contraddizione. Se la dimostrazione non è corretta, tuttavia, questi acronimi sono pessime notizie per il tuo voto.
    • Se non sei sicuro se la dimostrazione è corretta, basta che tu scriva alcune frasi spiegando la tua conclusione e perché è significativa. Se utilizzi uno degli acronimi di cui sopra e sbagli la dimostrazione, il tuo voto ne soffrirà.
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    Ricorda le definizioni che ti sono state fornite. Rivedi i tuoi appunti e il libro per vedere se la definizione è corretta.
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    Prenditi del tempo per riflettere sulla dimostrazione. L'obiettivo non era la prova, ma l'apprendimento. Se fai solo la dimostrazione e poi vai oltre, ti perdi metà dell'esperienza di apprendimento. Pensaci. Sarai soddisfatto di questo?
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Consigli

  • Cerca di applicare la dimostrazione a un caso dove dovrebbe fallire e guarda se effettivamente è così. Ad esempio, ecco una possibile prova che la radice quadrata di un numero (che significa qualsiasi numero) tende all'infinito, quando quel numero tende all'infinito.
    • Per tutti gli n positivi, la radice quadrata di n + 1 è maggiore di radice quadrata di n.

Così se questo è vero, quando n aumenta, aumenta anche la radice quadrata; e quando n tende all'infinito, la sua radice quadrata tende all'infinito per tutti gli n. (potrebbe sembrare corretto a prima vista.)

    • Ma, anche se l'affermazione che tenti di dimostrare è vera, la deduzione è falsa. Questa prova dovrebbe potersi applicare ugualmente bene all'arcotangente di n così come accade per la radice quadrata di n. Arctan di n + 1 è sempre maggiore di arctan di n per tutti gli n positivi. Ma arctan non tende all'infinito, tende a pigreco/2.
    • Invece, dimostriamolo come segue. Per dimostrare che qualcosa tende all'infinito, abbiamo bisogno che, per tutti i numeri M, esista un numero N tale che, per ogni n maggiore di N, la radice quadrata di n è più grande di M. Esiste un numero così - è M^2.
      • Questo esempio mostra anche che è necessario controllare attentamente la definizione di ciò che si sta cercando di dimostrare.
  • Le dimostrazioni sono difficili da imparare a scrivere. Un ottimo modo per impararle è studiare i teoremi correlati e come vengono dimostrati.
  • Una buona dimostrazione matematica rende ogni passaggio davvero evidente. Delle frasi altisonanti potrebbero far guadagnare voti in altre materie, ma in matematica tendono a nascondere dei buchi nel ragionamento.
  • Ciò che assomiglia al fallimento, ma è più di ciò con cui sei partito, è in realtà un progresso. Può dare informazioni sulla soluzione.
  • Renditi conto che una dimostrazione è solo un buon ragionamento con ogni passaggio giustificato. Puoi vederne circa 50 online.
  • La cosa migliore per la maggior parte delle dimostrazioni: sono già state dimostrate, il che significa che sono solitamente vere! Se arrivi a una conclusione che è diversa da quanto si dovrebbe dimostrare, allora è più che probabile che ti sia bloccato da qualche parte. Basta andare indietro ed esaminare attentamente ogni passaggio.
  • Ci sono migliaia di metodi euristici o buone idee da provare. Il libro di Polya ha due parti: un “come fare se” e un'enciclopedia dell'euristica.
  • Scrivere molte bozze per le tue dimostrazioni non è così raro. Considerando che alcuni compiti saranno composti da 10 pagine o più, vorrai assicurarti di aver capito bene.
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Riferimenti

  1. http://www.math.utah.edu/~pa/math/polya.html
  2. http://www.proofwiki.org - Un compendio online delle dimostrazioni matematiche basato su MediaWiki!

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Categorie: Matematica
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