Quest'articolo spiega come scomporre in fattori un polinomio di terzo grado. Esploreremo come fattorizzare con il raccoglimento e con i fattori del termine noto.

Metodo 1 di 2:
Prima parte: Fattorizzazione per raccoglimento

  1. 1
    Raggruppa il polinomio in due parti: questo ci permetterà di affrontare ciascuna parte separatamente.

    • Supponiamo di lavorare con il polinomio x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Raggruppiamolo in (x3 + 3x2) e (- 6x - 18)
  2. 2
    In ogni parte, trova il fattore comune.

    • Nel caso di (x3 + 3x2), x2 è il fattore comune.
    • Nel caso di (- 6x - 18), -6 è il fattore comune.
  3. 3
    Raccogli le parti in comune al di fuori dei due termini.

    • Raccogliendo x2 nella prima sezione, otterremo x2(x + 3).
    • Raccogliendo -6, avremo -6(x + 3).
  4. 4
    Se ciascuno dei due termini contiene lo stesso fattore, puoi combinare i fattori tra loro.

    • Questo darà (x + 3)(x2 - 6).
  5. 5
    Trova la soluzione considerando le radici. Se nelle radici hai x2, ricordati che sia numeri negativi che positivi soddisfano quell’equazione.

    • Le soluzioni sono 3 e √6.
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Metodo 2 di 2:
Seconda parte: Fattorizzazione usando il termine noto

  1. 1
    Riscrivi l'espressione in modo che sia nella forma aX3+bX2+cX+d.

    • Supponiamo di lavorare con l’equazione: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
  2. 2
    Trova tutti i fattori di d. La costante d è quel numero che non è associato a nessuna variabile.

    • I fattori sono quei numeri che moltiplicati tra loro danno un altro numero. Nel nostro caso, i fattori di 10, o d, sono: 1, 2, 5, e 10.
  3. 3
    Trova un fattore che renda il polinomio uguale a zero. Vogliamo stabilire qual è il fattore che, sostituito alla x nell’equazione, rende il polinomio uguale a zero.

    • Incominciamo con il fattore 1. Sostituiamo 1 in tutte le x dell’equazione:
      (1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0
    • Ne deriva che: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
    • Poiché 0 = 0 è un’affermazione vera, allora sappiamo che x = 1 è la soluzione.
  4. 4
    Sistema un po’ le cose. Se x = 1, possiamo cambiare un po’ l’affermazione per farla sembrare un po’ diversa senza cambiarne il significato.

    • x = 1 è lo stesso che dire x - 1 = 0 o (x - 1). Abbiamo semplicemente sottratto 1 da entrambe le parti dell' equazione.
  5. 5
    Fattorizza la radice del resto dell'equazione. La nostra radice è "(x - 1)". Vediamo se è possibile raccoglierla al di fuori del resto dell'equazione. Consideriamo un polinomio alla volta.

    • E' possibile raccogliere (x - 1) da x3? No, non è possibile. Possiamo però prendere -x2 dalla seconda variabile; adesso possiamo scomporla in fattori: x2(x - 1) = x3 - x2.
    • E' possibile raccogliere (x - 1) da quello che rimane della seconda variabile? No, non è possibile. Dobbiamo prendere di nuovo qualcosa dalla terza variabile. Prendiamo 3x da -7x.
    • Questo darà -3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
    • Poiché abbiamo preso 3x da -7x, la terza variabile ora sarà -10x e la costante sarà 10. Possiamo scomporlo in fattori? Sì, è possibile! -10(x - 1) = -10x + 10.
    • Quello che abbiamo fatto è stato riarrangiare le variabili in modo da poter raccogliere (x - 1) in tutta l' equazione. Ecco l' equazione modificata: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, ma è lo stesso che x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
  6. 6
    Continua a sostituire per i fattori del termine noto. Considera i numeri che abbiamo scomposto usando (x - 1) nel passaggio 5:

    • x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Possiamo riscrivere per rendere più facile la fattorizzazione: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
    • Qui stiamo cercando di scomporre in fattori (x2 - 3x - 10). La scomposizione sarà (x + 2)(x - 5).
  7. 7
    Le soluzioni saranno le radici fattorizzate. Per controllare se le soluzioni sono corrette, le puoi inserire una alla volta nell' equazione originale.

    • (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 Le soluzioni sono 1, -2, e 5.
    • Inserisci -2 nell' equazione: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
    • Inserisci 5 nell' equazione: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
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Consigli

  • Un polinomio cubico è il prodotto di tre polinomi di primo grado o il prodotto di un polinomio di primo grado e un altro polinomio di secondo non scomponibile in fattori. Nell'ultimo caso, per trovare il polinomio di secondo grado, usiamo una lunga divisione una volta trovato il polinomio di primo grado.
  • Non esistono polinomi cubici non scomponibili tra i numeri reali, poiché ogni polinomio cubico deve avere una radice reale. Polinomi cubici come x^3 + x + 1 che hanno una radice reale irrazionale non possono essere fattorizzati in polinomi con coefficienti interi o razionali. Nonostante possa essere fattorizzato con la formula cubica, è irriducibile come polinomio intero.

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Categorie: Matematica
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