Una delle formule più importanti per uno studente di algebra è quella quadratica, ovvero x =(-b ±√(b2 - 4ac))/2a. Con questa formula, per risolvere le equazioni quadratiche (equazioni nella forma ax2 + bx + c = 0) basta sostituire i valori di a, b e c. Anche se spesso è sufficiente conoscere la formula per la maggior parte delle persone, capire come è stata ricavata è un'altra cosa. In effetti, la formula viene ricavata con un'utile tecnica chiamata "completamento del quadrato" che ha anche altre applicazioni matematiche.

Metodo 1 di 2:
Ricavare la Formula

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    Inizia con un'equazione quadratica. Tutte le equazioni quadratiche hanno la forma ax2 + bx + c = 0. Per iniziare a ricavare la formula quadratica, scrivi semplicemente questa equazione generale su un foglio di carta, lasciando molto spazio sotto di essa. Non sostituire alcun numero a a, b, o c — lavorerai con la forma generale dell'equazione.
    • La parola "quadratica" si riferisce al fatto che il termine x è al quadrato.[1] Qualunque siano i coefficienti usati per a, b, e c, se puoi scrivere un'equazione nella normale forma binomiale, si tratta di un'equazione quadratica. La sola eccezione a questa regola è "a" = 0 — in questo caso, poiché non è più presente il termine x2, l'equazione non è più quadratica.
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    Dividi entrambi i lati per "a". Per ottenere la formula quadratica, l'obiettivo è isolare "x" su un lato del segno di uguale. Per farlo, useremo le tecniche di "cancellazione" di base dell'algebra, per spostare gradualmente il resto delle variabili dall'altro lato del segno di uguale. Iniziamo dividendo semplicemente il lato sinistro dell'equazione per la nostra variabile "a". Scrivi questo sotto la prima riga.
    • Quando dividi entrambi i lati per "a", non dimenticare la proprietà distributiva delle divisioni, che significa che dividere l'intero lato sinistro dell'equazione per a è come dividere i termini singolarmente.[2]
    • Questo ci dà x2 + (b/a)x + c/a = 0. Nota che l'a che moltiplicava il termine x2 è stata cancellata e che il lato destro dell'equazione vale ancora zero (zero diviso un qualunque numero diverso da zero è uguale a zero).[3]
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    Sottrai c/a da entrambi i lati. Come prossimo passo, elimina il termine non-x (c/a) dal lato sinistro dell'equazione. Farlo è facile — basta sottrarlo da entrambi i lati.
    • Così facendo rimane x2 + (b/a)x = -c/a. Abbiamo ancora i due termini in x a sinistra, ma il lato destro dell'equazione sta iniziando a prendere la forma desiderata.
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    Somma b2/4a2 da entrambi i lati. Qui le cose si fanno più complesse. Abbiamo due diversi termini in x — uno al quadrato e uno semplice — sul lato sinistro dell'equazione. A un primo sguardo, potrebbe sembrare impossibile continuare a semplificare perché le regole dell'algebra ci impediscono di sommare termini variabili con esponenti diversi.[4] Una "scorciatoia" però, chiamata "completamento del quadrato" (di cui parleremo a breve) ci permette di risolvere il problema.
    • Per completare il quadrato, somma b2/4a2 a entrambi i lati. Ricorda che le regole di base dell'algebra ci permettono di aggiungere quasi qualunque cosa da un lato dell'equazione a patto di aggiungere lo stesso elemento dall'altro, perciò si tratta di un'operazione del tutto valida. La tua equazione dovrebbe ora avere questo aspetto: x2+(b/a)x+b2/4a2 = -c/a + b2/4a2.
    • Per una discussione più dettagliata di come funziona il completamento del quadrato, leggi la sezione seguente.
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    Fattorizza il lato sinistro dell'equazione. Come prossimo passo, per gestire la complessità che abbiamo appena aggiunto, concentriamoci solo sul lato sinistro dell'equazione per un passaggio. Il lato sinistro dovrebbe avere questo aspetto: x2+(b/a)x+b2/4a2. Se pensiamo a "(b/a)" e "b2/4a2" come a semplici coefficienti "d" e "e", rispettivamente, la nostra equazione ha, in effetti, la forma x2 + dx + e, e può quindi essere fattorizzata in (x + f)2, dove f è 1/2 di d e la radice quadrata di e.
    • Per i nostri scopi, questo significa che possiamo fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, x2+(b/a)x+b2/4a2, in (x + (b/2a))2.
    • Sappiamo che questo passaggio è corretto perché (x + (b/2a))2 = x2 + 2(b/2a)x + (b/2a)2 = x2+(b/a)x+b2/4a2, l'equazione originale.
    • La fattorizzazione è una preziosa tecnica dell'algebra che può essere molto complessa. Per una spiegazione più approfondita di cosa sia la fattorizzazione e di come applicare questa tecnica, puoi fare delle ricerche su internet o su wikiHow.
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    Usa il comune denominatore 4a2 per il lato destro dell'equazione. Facciamo una breve pausa dal complicato lato sinistro dell'equazione e troviamo un denominatore comune per i termini a destra. Per semplificare i termini frazionari a destra, dobbiamo trovare questo denominatore.
    • Si tratta di un'operazione abbastanza facile — moltiplica semplicemente -c/a per 4a/4a per ottenere -4ac/4a2. Ora, i termini a destra dovrebbero essere -4ac/4a2 + b2/4a2.
    • Nota che questi termini condividono lo stesso denominatore 4a2, così possiamo sommarli per ottenere (b2 - 4ac)/4a2.
    • Ricorda che non dobbiamo ripetere questa moltiplicazione dall'altro lato dell'equazione. Dato che moltiplicare per 4a/4a è come moltiplicare per 1 (qualunque numero diverso da zero diviso per se stesso equivale a 1), non stiamo cambiando il valore dell'equazione, perciò non è necessario compensare dal lato sinistro.[5]
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    Calcola la radice quadrata di ogni lato. Il peggio è passato! La tua equazione dovrebbe ora avere questo aspetto: (x + b/2a)2) = (b2 - 4ac)/4a2). Dato che stiamo cercando di isolare x da un lato del segno di uguale, il nostro prossimo compito è calcolare la radice quadrata di entrambi i lati.
    • Così facendo rimane x + b/2a = ±√(b2 - 4ac)/2a. Non dimenticare il segno ± — anche i numeri negativi possono essere elevati al quadrato.
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    Sottrai b/2a da entrambi i lati per finire. A questo punto, x è quasi da sola! Ora, tutto quello che resta da fare è sottrarre il termine b/2a da entrambi i lati per isolarla completamente. Una volta finito, dovresti ottenere x = (-b ±√(b2 - 4ac))/2a. Ti sembra familiare? Congratulazioni! Hai ottenuto la formula quadratica!
    • Analizziamo ulteriormente quest'ultimo passaggio. Sottrarre b/2a da entrambi i lati ci dà x = ±√(b2 - 4ac)/2a - b/2a. Dato che sia b/2a sia √(b2 - 4ac)/2a hanno come denominatore comune 2a, possiamo sommarli, ottenendo ±√(b2 - 4ac) - b/2a oppure, con termini di lettura più semplice, (-b ±√(b2 - 4ac))/2a.
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Metodo 2 di 2:
Imparare la Tecnica del "Completamento del Quadrato"

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    Inizia con l'equazione (x + 3)2 = 1. Se non sapevi come ricavare la formula quadratica prima di iniziare a leggere, probabilmente sei ancora un po' confuso dai passaggi del "completamento del quadrato" nella dimostrazione precedente. Non preoccuparti — in questa sezione, analizzeremo l'operazione più nel dettaglio. Iniziamo con un'equazione polinomiale completamente fattorizzata: (x + 3)2 = 1. Nei passaggi seguenti, useremo questa semplice equazione d'esempio per capire perché dobbiamo usare il "completamento del quadrato" per ottenere la formula quadratica.
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    Risolvi per x. Risolvere (x + 3)2 = 1 per x è piuttosto semplice — calcola la radice quadrata di entrambi i lati, poi sottrai tre da entrambi per isolare x. Leggi in seguito per una spiegazione passo per passo:
    • (x + 3)2 = 1
      (x + 3) = √1
      x + 3 = ±1
      x = ±1 - 3
      x = -2, -4
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    Espandi l'equazione. Abbiamo risolto per x, ma non abbiamo ancora finito. Ora, "apriamo" l'equazione (x + 3)2 = 1 scrivendo in forma lunga, così: (x + 3)(x + 3) = 1. Espandiamo ancora questa equazione, moltiplicando i termini tra parentesi tra loro. Dalla proprietà distributiva di moltiplicazione, sappiamo di dover moltiplicare in quest'ordine: i primi termini, poi i termini esterni, poi i termini interni, infine gli ultimi termini.[6]
    • La moltiplicazione ha questo svolgimento:
      (x + 3)(x + 3)
      (x × x) + (x × 3) + (3 × x) + (3 × 3)
      x2 + 3x + 3x + 9
      x2 + 6x + 9
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    Trasforma l'equazione in forma quadratica. Ora la nostra equazione ha questo aspetto: x2 + 6x + 9 = 1. Nota che è molto simile a un'equazione quadratica. Per ottenere la completa forma quadratica, dobbiamo solo sottrarre uno da entrambi i lati. Così otteniamo x2 + 6x + 8 = 0.
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    Ricapitoliamo. Ripassiamo quello che già sappiamo:
    • L'equazione (x + 3)2 = 1 ha due soluzioni per x: -2 e -4.
    • (x + 3)2 = 1 è uguale a x2 + 6x + 9 =1, che è uguale a x2 + 6x + 8 = 0 (un'equazione quadratica).
      Perciò, l'equazione quadratica x2 + 6x + 8 = 0 ha -2 e -4 come soluzioni per x. Se verifichiamo sostituendo queste soluzioni a x, otteniamo sempre il risultato corretto (0), perciò sappiamo che si tratta delle soluzioni giuste.
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    Impara a conoscere le tecniche generali del "completamento del quadrato". Come abbiamo visto in precedenza, è semplice risolvere le equazioni quadratiche portandole nella forma (x + a)2 = b. Per essere però in grado di portare un'equazione quadratica in questa conveniente forma, potremmo dover sottrarre o sommare un numero a entrambi i lati dell'equazione. Nei casi più generali, per le equazioni quadratiche nella forma x2 + bx + c = 0, c deve essere uguale a (b/2)2 perché l'equazione possa essere fattorizzata in (x + (b/2))2. Se così non fosse, basterà aggiungere e sottrarre numeri su entrambi i lati per ottenere questo risultato. Questa tecnica è chiamata "completamento del quadrato", ed è proprio quello che abbiamo fatto per ottenere la formula quadratica.
    • Ecco altri esempi di fattorizzazioni di equazioni quadratiche — nota che, in ognuna, il termine "c" è uguale al termine "b" diviso due, al quadrato.
      x2 + 10x + 25 = 0 = (x + 5)2
      x2 - 18x + 81 = 0 = (x + -9)2
      x2 + 7x + 12.25 = 0 = (x + 3.5)2
    • Ecco un esempio di un'equazione quadratica dove il termine "c" non è uguale a metà del termine "b" al quadrato. In questo caso, dovremmo sommare ad ogni lato per ottenere l'uguaglianza desiderata — in altre parole, dobbiamo "completare il quadrato".
      x2 + 12x + 29 = 0
      x2 + 12x + 29 + 7 = 0 + 7
      x2 + 12x + 36 = 7
      (x + 6)2 = 7
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