Come Risolvere i Polinomi

Co-redatto da David Jia

Un polinomio è un'espressione matematica composta da termini che si sommano o si sottraggono fra loro; un termine può essere costituito da costanti, coefficienti e variabili. Quando risolvi un polinomio devi in genere trovare il valore per cui x=0. Quelli di grado inferiore hanno una o due soluzioni, in base al fatto se sono lineari o di secondo grado. Questo genere di polinomi si risolve facilmente sfruttando i concetti algebrici elementari e con i metodi di scomposizione in fattori. Per imparare a risolvere quelli di grado superiore puoi leggere questo articolo.

Metodo 1

Metodo 1 di 2:

Polinomi di Primo Grado

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Determina se si stratta di un polinomio lineare. Con questo termine si indica un'espressione di primo grado.^{[1]
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Fonte di ricerca} Questo significa che non ci sono variabili con esponente (o meglio con un esponente maggiore di 1); dato che si tratta di un'espressione di primo grado, prevede una sola soluzione, o radice.^{[2]
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Fonte di ricerca}
- Per esempio, $5x+2$ è un polinomio di primo grado perché la variabile $x$ ha esponente uguale a 1.
2
Imposta l'equazione uguale a zero. Questo passaggio è necessario per risolvere tutti i polinomi.
- Per esempio, $5x+2=0$ .
3
Isola il termine della variabile. Somma o sottrai la costante a entrambi i lati dell'equazione; la costante è il parametro senza variabile.^{[3]
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Fonte di ricerca}
- Per esempio, per isolare $x$ nell'equazione $5x+2=0$ , dovresti sottrarre $2$ da entrambi i lati:
  $5x+2=0$
  $5x+2-2=0-2$
  $5x=-2$ .
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Risolvi per la variabile. In genere, devi dividere entrambi i termini dell'equazione per il coefficiente della variabile; in questo modo ottieni la radice, o soluzione, del polinomio.
- Per esempio, per trovare il valore di $x$ in $5x=-2$ , dovresti dividere entrambi i termini per $5$ :
  $5x=-2$
  ${\frac {5x}{5}}={\frac {-2}{5}}$
  $x={\frac {-2}{5}}$
  di conseguenza, la soluzione di $5x+2$ è $x={\frac {-2}{5}}$ .
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Metodo 2

Metodo 2 di 2:

Polinomi di Secondo Grado

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Determina se hai un polinomio di secondo grado. A volte, si definisce anche polinomio quadratico;^{[4]
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Fonte di ricerca} questo significa che non c'è alcuna variabile con un esponente maggiore di 2. Dato che si tratta di un polinomio di secondo grado, prevede due radici, o soluzioni.^{[5]
X
Fonte di ricerca}
- Per esempio, $x^{2}+8x-20$ è un polinomio di secondo grado perché la variabile $x$ ha un esponente pari a $2$ .
2
Assicurati che sia scritto in ordine di grado. Questo significa che il termine con esponente uguale a $2$ $2$ deve essere il primo a sinistra, seguito da quello di primo grado e infine dalla costante.^{[6]
X
Fonte di ricerca}
- Per esempio, dovresti riscrivere $8x+x^{2}-20$ in questa forma: $x^{2}+8x-20$ .
3
Imposta un'equazione pari a zero. Questo passaggio è necessario per risolvere tutti i polinomi.
- Per esempio: $x^{2}+8x-20=0$ .
4
Riscrivi l'equazione come un'espressione in quattro termini. Per procedere devi separare il termine di primo grado (il termine $x$ $x$ ); devi trovare due numeri la cui somma sia pari al coefficiente della variabile e il prodotto pari alla costante.^{[7]
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Fonte di ricerca}
- Per esempio, se consideri il polinomio di secondo grado $x^{2}+8x-20=0$ , devi trovare i due numeri ( $a$ e $b$ ) per cui $a+b=8$ , e $a\cdot b=-20$ .
- Dato che la costante è negativa ( $-20$ ), sai che uno dei due numeri è minore di zero.
- Dovresti renderti conto che $10+(-2)=8$ e $10\cdot (-2)=-20$ . Di conseguenza, puoi riscrivere $8x$ come $10x-2x$ ; pertanto, l'equazione si presenta in questo modo: $x^{2}+10x-2x-20=0$ .
5
Raccogli in fattori. Estrai quello comune per i primi due termini del polinomio.^{[8]
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Fonte di ricerca}
- Nell'esempio considerato finora, $x^{2}+10x-2x-20=0$ , i primi due termini sono $x^{2}+10x$ . Il fattore comune è $x$ , quindi puoi riscriverli come $x(x+10)$ .
6
Raccogli in fattori il secondo gruppo. Estrai il fattore comune degli altri due termini del polinomio.
- Per esempio, osservando $x^{2}+10x-2x-20=0$ , i due termini successivi sono $-2x-20$ il cui fattore comune è $-2$ , ottenendo di conseguenza $-2(x+10)$ .
7
Riscrivi il polinomio come due binomi. Un binomio è un'espressione composta da due termini. Uno è già presente ed è rappresentato dalle espressioni raccolte fra parentesi e che sono uguali fra loro; l'altro è la combinazione dei fattori comuni che si trovano fuori dalle parentesi, ma che possono essere combinati per la proprietà distributiva.
- Per esempio, dopo aver raccolto i fattori comuni, l'equazione $x^{2}+10x-2x-20=0$ diventa $x(x+10)-2(x+10)=0$ .
- Il primo binomio è $(x+10)$ .
- Il secondo è $(x-2)$ .
- Di conseguenza il polinomio iniziale di secondo grado, $x^{2}+8x-20=0$ , può essere riscritto come: $(x+10)(x-2)=0$ .
8
Trova la prima soluzione, o radice. Per farlo, devi risolvere il primo binomio per $x$ $x$ .^{[9]
X
Fonte di ricerca}
- Nell'esempio considerato, per calcolare la prima radice di $(x+10)(x-2)=0$ , devi imporre il primo binomio uguale a $0$ e trovare $x$ . Quindi:
  $x+10=0$
  $x+10-10=0-10$
  $x=-10$
  La prima soluzione del polinomio di secondo grado $x^{2}+8x-20=0$ è $-10$ .
9
Trova la seconda radice, o soluzione. In tal caso, devi risolvere il secondo binomio per $x$ $x$ .^{[10]
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Fonte di ricerca}
- Per esempio, per calcolare la seconda radice di $(x+10)(x-2)=0$ devi imporre il secondo binomio pari a $0$ e svolgere le operazioni per trovare $x$ . Quindi:
  $x-2=0$
  $x-2+2=0+2$
  $x=2$
  La seconda radice del polinomio di secondo grado $x^{2}+8x-20=0$ è $2$ .
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Consigli

Non spaventarti se ci sono variabili diverse, per esempio "t", o se ti imbatti in un'equazione posta uguale a f(x) invece che a 0. Se l'enunciato del problema richiede delle radici, dei fattori o degli zeri, trattalo semplicemente come qualsiasi altro esercizio.
Ricorda l'ordine delle operazioni; svolgi prima quelle tra parentesi, poi le moltiplicazioni e le divisioni e infine le somme e le sottrazioni.^{[11]
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Fonte di ricerca}