Un sistema di equazioni è un sistema di due o più equazioni, che ha un insieme di incognite condivise e quindi una soluzione comune. Per le equazioni lineari, che vengono rappresentate graficamente come linee rette, la soluzione comune in un sistema è il punto in cui le linee si intersecano. Le matrici possono essere utili per riscrivere e risolvere i sistemi lineari.

Parte 1 di 2:
Comprendere le Basi

  1. 1
    Conoscere la terminologia. Le equazioni lineari possiedono delle componenti distinte. La variabile è il simbolo (di solito lettere come x e y) che sta per un numero che non conosci ancora. La costante è un numero che rimane consistente. Il coefficiente è un numero che viene prima di una variabile, che viene usato per moltiplicarla.
    • Ad esempio, nell’equazione lineare 2x + 4y = 8, x e y sono variabili. La costante è 8. I numeri 2 e 4 sono coefficienti.
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    Riconoscere la forma per un sistema di equazioni. Un sistema di equazioni può essere scritto come segue:ax + by = pcx + dy = qOgnuna delle costanti (p, q) può essere nulla, con l’eccezione che ognuna delle due equazioni deve contenere almeno una delle due variabili (x, y).
  3. 3
    Comprendere le equazioni matriciali. Quando hai un sistema lineare, puoi usare una matrice per riscriverlo, poi usare le proprietà algebriche di quella matrice per risolverlo. Per riscrivere un sistema lineare, usa A per rappresentare la matrice dei coefficienti, C per rappresentare la matrice delle costanti, e X per rappresentare la matrice incognita.
    • Il sistema lineare precedente, per esempio, può essere riscritto come un’equazione di matrici come segue: A x X = C.
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    Comprendere il concetto di matrice aumentata. Una matrice aumentata è una matrice ottenuta affiancando le colonne di due matrici, A e C, che ha il seguente aspetto Puoi creare una matrice aumentata affiancandole. La matrice aumentata avrà il seguente aspetto:
    • Ad esempio, considera il seguente sistema lineare:
      2x + 4y = 8
      x + y = 2
      La tua matrice aumentata sarà una matrice 2 x 3 che ha l’aspetto indicato in figura.
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Parte 2 di 2:
Trasformare la Matrice Aumentata per Risolvere il Sistema

  1. 1
    Comprendere le operazioni elementari. Puoi effettuare alcune operazioni su una matrice per trasformarla mantenendola equivalente all’originale. Queste sono dette operazioni elementari. Per risolvere una matrice 2x3, per esempio, puoi usare delle operazioni elementari fra le righe per trasformare la matrice in una matrice triangolare. Le operazioni elementari includono:
    • scambio di due righe.
    • moltiplicazione di una riga per un coefficiente diverso da zero.
    • moltiplicare una riga e poi sommarla ad un’altra.
  2. 2
    Moltiplicare la seconda riga per un numero diverso da zero. Vuoi avere uno zero nella tua seconda riga, quindi moltiplicala in modo da ottenere il risultato voluto.
    • Ad esempio, supponiamo che tu abbia una matrice come quella in figura. Puoi mantenere la prima riga e usarla per ottenere uno zero nella seconda. Per farlo, moltiplica la seconda riga per due, come mostrato in figura.
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    Continuare a moltiplicare. Per ottenere uno zero per la prima riga, potresti ave bisogno di moltiplicare ancora, usando lo stesso principio.
    • Nell'esempio sopra, moltiplica la seconda riga per -1, come in figura. Quando hai terminato di moltiplicare la matrice dovrà avere un aspetto analogo a quello della figura.
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    Sommare la prima riga con la seconda. Poi, addiziona la prima e la seconda riga per ottenere uno zero nella prima colonna della seconda riga.
    • Nell’esempio sopra, addiziona le prime due righe come in figura.
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    Scrivere il nuovo sistema lineare a partire dalla matrice triangolare. A questo punto, hai una matrice triangolare. Puoi usare quella matrice per ottenere un nuovo sistema lineare. La prima colonna corrisponde all’incognita x, e la seconda colonna all’incognita y. La terza colonna corrisponde al membro senza incognite dell’equazione.
    • Nell’esempio sopra, il sistema avrà l’aspetto mostrato in figura.
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    Risolvere per una delle variabili. Usando il tuo nuovo sistema, determina quale variabile può essere determinata facilmente, e risolvi per quella.
    • Nell’esempio sopra, vuoi risolvere “all’indietro”: partendo dall’ultima equazione alla prima per risolvere rispetto alle tue incognite. La seconda equazione ti fornisce una semplice soluzione per y; dato che z è stata rimossa, puoi vedere che y = 2.
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    Sostituire per risolvere per la prima variabile. Una volta che hai determinato una delle variabili, puoi sostituire quel valore nell’altra equazione per risolvere per l’altra variabile.
    • Nell’esempio sopra rimpiazza y con un 2 nella prima equazione per risolvere per x, come mostrato in figura.
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Consigli

  • Gli elementi disposti all’interno di una matrice sono solitamente detti “scalari.”
  • Ricorda che per risolvere una matrice 2x3, devi attenerti alle operazioni elementari fra le righe. Non puoi effettuare delle operazioni fra le colonne.

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