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Le funzioni esponenziali possono essere usate per rappresentare il tasso di variazione in molti sistemi: per esempio, la crescita demografica, il decadimento radioattivo, la crescita batterica, l’interesse composto e così via. Segui i passaggi descritti di seguito per scrivere un'equazione esponenziale, conoscendo il tasso di crescita o di decadimento della funzione e il valore iniziale del gruppo.

Metodo 1
Metodo 1 di 2:
Usa la velocità come base

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    Vediamo un esempio. Supponiamo che un conto bancario sia aperto con un deposito di $ 1.000 e il tasso d'interesse sia del 3% con capitalizzazione annua. Trova un'equazione esponenziale che rappresenti questa funzione.
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    Impara la formula base. La formula per un'equazione esponenziale è f(t)=P0(1+r)t/h, dove P0 è il valore iniziale, t è la variabile tempo, r è il tasso di variazione e h è il numero necessario per assicurare che le unità di t siano paragonabili a quelle del tasso di variazione.
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    Sostituisci P con il valore iniziale e r con il tasso. Otterrai f(t)=1.000(1,03)t/h.
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    Trova h. Pensa all'equazione. Ogni anno, il denaro aumenta del 3%, il che vuol dire che ogni 12 mesi il denaro aumenta del 3%. Dato che devi dare t in mesi, devi dividere t per 12, quindi h=12. La tua equazione è f(t)=1.000(1,03)t/12. Se l'unità è la stessa per il tasso e per gli aumenti di t, allora h è sempre 1.
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Metodo 2
Metodo 2 di 2:
Usa "e" come base

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    Impara cosa rappresenta e. Quando usi il valore e come base, stai usando la "base naturale". L'uso della base naturale ti permette di dedurre il tasso di crescita continua direttamente dall'equazione.
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    Vediamo un esempio. Supponiamo che 500 grammi di un campione di isotopo di carbonio abbia un tempo di dimezzamento di 50 anni (il tempo di dimezzamento è il tempo necessario per la materia di decadere del 50%).
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    Impara la formula base. La formula per un'equazione esponenziale è f(t)=aekt, dove a è il valore iniziale, e è la base, k è il tasso di crescita continua, e t è la variabile tempo.
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    Sostituisci il valore iniziale. L'unico valore assegnato di cui hai bisogno è il tasso di crescita iniziale. Sostituisci quindi a con questo valore e otterrai f(t)=500ekt
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    Trova il tasso di crescita continua. Il tasso di crescita continuo indica quanto velocemente il grafico cambia in un particolare istante. Sappiamo che tra 50 anni, il campione sarà decaduto a 250 grammi. Questo può essere considerato come un punto sul grafico che può essere inserito. Quindi t è 50. Inseriscilo per ottenere f(50)=500e50k. Sappiamo anche che f(50)=250; sostituisci quindi f(50) con 250 a sinistra dell'uguale e otterrai l'equazione esponenziale 250=500e50k. Per risolvere l'equazione, dividi entrambi i lati per 500: 1/2=e50k. Calcola il logaritmo naturale per entrambi i lati e ottieni: ln(1/2)=ln(e50k). Usa le proprietà dei logaritmi per portare l'esponente fuori dall'argomento del log naturale e moltiplicalo per il log. Il risultato sarà ln(1/2)=50k(ln(e)). Ricorda che ln è lo stesso di loge. Secondo le proprietà dei logaritmi, se la base e l'argomento di un logaritmo sono uguali, il valore è 1. Da qui ln(e)=1. Semplifica l'equazione a ln(1/2)=50k e, dividendo per 50, troverai che k=(ln(1/2))/50. Usando la calcolatrice, trova il valore approssimato di k: -.01386. Nota che questo valore è negativo. Se il tasso di crescita continua è negativo, si tratta di decadimento. Se, invece, è positivo, sarà una crescita esponenziale.
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    Inserisci il valore di k. L'equazione sarà 500e-.01386t.
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Consigli

  • Per ottenere dei valori più precisi, potresti memorizzare il valore di k nella tua calcolatrice, anziché usare un'approssimazione al decimale. X è una variabile facilmente accessibile, dato che non devi premere "alfa" per ottenerla. Se vuoi rappresentare l'equazione in un grafico, però, stai attento ad usare una variabile definita come costante, o inserirai delle variabili in più.
  • Presto imparerai quali metodi usare. In generale, il primo metodo è più facile. Tuttavia, in altre occasioni, l'uso della base naturale semplificherà i tuoi calcoli in un secondo tempo.
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Categorie: Matematica
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