Quando due rette si intersecano all'interno di un piano di riferimento bidimensionale (piano cartesiano), si incontrano in un unico punto descritto dalla coppia di coordinate (x,y). Dato che il punto di intersezione è comune a entrambe le rette, le coordinate X e Y del punto devono obbligatoriamente soddisfare entrambe le equazioni lineari. Utilizzando alcune tecniche aggiuntive e il medesimo processo logico, si possono individuare i punti di intersezione esistenti fra una parabola e altre curve quadratiche.

Metodo 1 di 2:
Trovare il Punto di Intersezione di Due Rette

  1. 1
    Riscrivi entrambe le equazioni lineari in modo da isolare l'incognita Y all'interno del membro sinistro. Se necessario, esegui tutti i calcoli per impostare le equazioni in modo che l'incognita Y appaia isolata all'interno di uno dei membri dell'equazione. Se l'equazione in oggetto utilizza le funzioni f(x) o g(x) invece che l'incognita Y, isola questi termini. Ricorda che puoi semplificare un'equazione (utilizzando la proprietà o regola di cancellazione) applicando la stessa operazione a entrambi i membri che la compongono.
    • Se non conosci le equazioni che descrivono le due rette, ottienile a partire dalle informazioni a tua disposizione.
    • Esempio: ipotizziamo che le due rette siano descritte dalle seguenti equazioni: e . Per isolare l'incognita Y della seconda equazione, devi sommare il coefficiente 12 a entrambi i membri ottenendo
  2. 2
    Trova la soluzione che soddisfi entrambe le equazioni. Stiamo cercando il punto di intersezione delle due rette, cioè i valori di X e Y che soddisfano entrambe le equazioni. Queste ultime sono scritte in modo che l'incognita Y sia isolata nel membro sinistro. Sapendo che il membro destro di entrambe avrà la stessa soluzione, possiamo quindi scrivere una nuova equazione per rappresentare questa uguaglianza:
    • Esempio: Partendo dalle equazioni lineare note e , otterremo .
  3. 3
    Risolvi in base a X. La nuova equazione ha solo un'incognita, cioè X. Risolvila applicando le stesse operazioni algebriche a entrambi i membri. Isola il termine X all'interno di uno dei due membri dell'equazione per poterla scrivere nella forma "x = __" (se questo passaggio è possibile, seleziona questo link per passare direttamente alla conclusione di questa sezione).
    • Esempio:
    • Sommiamo il termine a ogni membro:
    • Sottraiamo il coefficiente 3 da ogni membro:
    • Adesso dividiamo ogni membro per 3:
    • .
  4. 4
    Utilizza il valore di X ottenuto per individuare il valore di Y. Puoi usare una delle due equazioni lineari di partenza. Sostituisci a X la soluzione appena calcolata, quindi esegui tutti i calcoli per risolverla in base a Y.
    • Esempio: e
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    Verifica la correttezza del tuo lavoro. Per farlo, sostituisci il valore di X anche nella seconda equazione lineare per avere la certezza di ottenere lo stesso risultato. Nel caso si ottenga un valore di Y differente, significa che qualcosa non ha funzionato, bisognerà quindi revisionare il proprio lavoro alla ricerca dell'errore.
    • Esempio: e
    • Questa soluzione è uguale a quella calcolata nel passaggio precedente, quindi significa che è quella corretta.
  6. 6
    Prendi nota delle coordinate X e Y del punto di intersezione. Giunto a questo punto, avrai individuato l'ordinata e l'ascissa che descrivono il punto in cui le due rette date si intersecano. Scrivi le coordinate nella forma corretta rispettandone l'ordine (x, y):
    • Example: e
    • Le due rette si intersecano nel punto (3,6).
  7. 7
    Affronta le soluzioni inusuali. Alcune equazioni non possono essere risolte in base a X, cioè non ammettono soluzioni. Questo non significa necessariamente che siano stati commessi degli errori di calcolo. Esistono due situazioni specifiche per cui si otterrà una soluzione "speciale":
    • Nel caso di due rette parallele, dove non esiste un punto di intersezione. In questo caso l'incognita X verrà cancellata in entrambi i membri dell'equazione dando origine a una diseguaglianza (ad esempio ). La tua risposta sarà quindi: "le due linee in oggetto non si intersecano" oppure non esistono soluzioni reali".
    • Il caso in cui le equazioni lineari di partenza descrivono la stessa retta che quindi si "interseca" in ogni suo punto. In questo caso l'incognita X verrà cancellata in entrambi i membri dell'equazione dando origine a un'uguaglianza sempre vera (ad esempio ). La tua risposta sarà quindi: "le due linee in oggetto sono in realtà la stessa retta".
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Metodo 2 di 2:
Risoluzione dei Problemi con Equazioni Quadratiche

  1. 1
    Riconoscere un'equazione quadratica. In questo tipo di equazioni le variabili sono di secondo grado ( o ). Le equazioni quadratiche descrivono delle linee curve che quindi possono avere più soluzioni o punti di intersezione (0, 1 o 2). Questa sezione dell'articolo mostra come individuare le soluzioni dei problemi algebrici che devi affrontare.
    • Esegui tutti i calcoli possibili per portare un'equazione nella sua forma base e poter determinare se è quadrica. Ad esempio, la seguente equazione è quadratica, perché eseguendo i calcoli si ottiene .
    • Le equazioni che descrivono cerchi o ellissi presentano entrambi i termini e .[1][2] Se hai delle particolari difficoltà a risolvere questo tipo di equazioni, fai riferimento alla sezione "Consigli".
  2. 2
    Scrivi l'equazione isolando l'incognita Y. Se necessario, riscrivi ogni equazione in modo da isolare in un membro la variabile Y.
    • Esempio: Trova i punti di intersezione delle seguenti equazioni e .
    • Riscrivi l'equazione quadratica in base a Y:
    • e .
    • In questo esempio dobbiamo lavorare con un'equazione quadratica e una lineare. Anche i problemi che implicano due equazioni quadratiche si risolvono in modo molto simile.
  3. 3
    Eguaglia le due equazioni. Dopo averle riscritte isolando l'incognita Y in un membro, possiamo eguagliare gli altri due dato che avranno le stesse soluzioni.
    • Esempio: e
  4. 4
    Riscrivi l'equazione ottenuta in modo che un membro sia uguale a 0. Per farlo, utilizza le operazioni, le regole e i principi algebrici standard. Spostando tutti i termini in un solo membro otterremo quanto segue:
    • Esempio:
    • Sottrai l'incognita X da entrambi i membri:
    • Sottrai il coefficiente 7 da entrambi i membri:
  5. 5
    Risolvi l'equazione quadratica in oggetto. Dopo aver portato a zero un membro dell'equazione, esistono tre metodi per individuarne la soluzione. Ognuno riterrà più semplice usare il metodo a lui più congeniale. Puoi scegliere di utilizzare la formula quadratica, il metodo relativo al "completamento del quadrato" o il metodo di fattorizzazione, come nel seguente esempio:
    • Esempio:
    • L'obiettivo della fattorizzazione è quello di individuare due fattori che, moltiplicati fra loro, diano origine all'equazione in oggetto. Partiamo dal primo termine, sappiamo che può essere scomposto nella forma seguente (x    )(x    ) = 0.
    • L'ultimo termine è -6. Elenca tutti gli elementi o fattori che moltiplicati fra loro danno come risultato -6: , , e .
    • Il termine centrale è rappresentato da X (che può essere scritto anche come 1 * x). Somma fra loro ciascuna coppia di fattori per individuare quale dia come risultato 1. La coppia corretta di valori è , dato che .
    • Completa la tua soluzione inserendo la coppia di fattori appena individuata: .
  6. 6
    Ricorda che in questo caso le soluzioni relative all'incognita X sono due. Lavorando troppo rapidamente potresti fermarti dopo aver individuato solo una soluzione, senza accorgerti che ne è presente anche una seconda. Ecco come risolvere un problema algebrico che richiede di individuare le coordinate X dei due punti di intersezione di una linea curva:
    • Esempio (metodo di fattorizzazione): nel passaggio precedente abbiamo ottenuto l'equazione . In questo caso, se entrambi i fattori presenti nelle parentesi sono uguali a 0, l'equazione è vera. Quindi la prima soluzione è cioè ; mentre la seconda è cioè .
    • Esempio (formula quadratica o completamento del quadrato): se hai utilizzato uno di questi due metodi per risolvere la tua equazione, avrai ottenuto come risultato una radice quadrata. Ad esempio, l'equazione in oggetto sarà diventata . Ricorda che la radice quadrata può essere scomposta in due forme: e . Dovrai quindi scrivere entrambe le equazioni derivanti dalle due forme e risolverle in base a X.
  7. 7
    Risolvere problemi algebrici aventi una soluzione o nessuna. Avremo una sola soluzione e quindi un solo punto di intersezione nel caso di due linee tangenti. Due linee che non si intersecano non hanno invece punti di intersezione. Ecco come riconoscere questi casi particolari:
    • Equazioni con una sola soluzione: l'equazione derivante dalla fattorizzazione dei termini darà origine a due fattori identici (ad esempio (x-1)(x-1) = 0). Quando vengono utilizzati all'interno della formula quadratica il risultato è . Quindi in questo caso dovrai risolvere una sola equazione.
    • Nessuna soluzione: in questo caso non esistono fattori che soddisfano i requisiti dell'equazione. Se inseriti nella formula quadratica, daranno come risultato la radice quadrata di un numero negativo (ad esempio ). In questo caso la tua risposta dovrà essere "non esistono soluzioni".
  8. 8
    Sostituisci i valori di X nell'equazione originale. Dopo aver calcolato il valore di X del punto di intersezione, inseriscilo all'interno di una delle equazioni di partenza. Procedi a risolverla in base a Y. Nel caso tu abbia individuato due valori di X, ripeti il passaggio una seconda volta.
    • Esempio: nel nostro caso abbiamo individuato due soluzioni, e . Una delle equazioni di partenza è . Procediamo alla sostituzione dei valori ottenendo e , quindi eseguiamo i calcoli arrivando ad avere che e .
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    Descriviamo i punti di intersezione in base alle loro coordinate. Avendo trovato la soluzione completa al nostro problema possiamo esprimerla nella forma corretta, cioè tramite le coordinate dei due punti di intersezione individuati. Nel caso in cui tu abbia individuato due punti di intersezione, fai attenzione ad abbinare correttamente i due valori di X con quelli di Y.
    • Esempio: quando abbiamo utilizzato il valore , abbiamo ottenuto la soluzione , quindi il punto di intersezione in oggetto sarà (2, 9). Seguendo la stessa logica, il secondo punto di intersezione si trova alle coordinate (-3, 4).
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Consigli

  • Le equazioni che descrivono le figure geometriche di un cerchio o di un ellisse includono le incognite e . Per individuare i punti di intersezione fra un cerchio e una retta, si deve risolvere l'equazione che descrive la retta in base all'incognita X. A questo punto sostituisci alla variabile X dell'equazione che descrive il cerchio la soluzione individuata. Otterrai una semplice equazione quadratica che potrà avere 0, 1 o 2 soluzioni, come descritto nel metodo precedente.
  • L'equazione quadratica che descrive l'intersezione fra un cerchio e una parabola può avere 0, 1, 2, 3 o 4 soluzioni. Individua l'incognita di secondo grado di entrambe le equazioni. Ipotizziamo ad esempio che sia . Risolvine una in base all'incognita , quindi sostituisci la soluzione che hai calcolato alla variabile della seconda equazione. Risolvi l'equazione ottenuta in base all'incognita Y per ottenere le possibili soluzioni (che possono essere due, una o nessuna). Adesso sostituisci ognuna delle soluzioni all'interno delle equazioni quadratiche originali e risolvile in base a X. Ognuna delle equazioni in oggetto potrà avere 0, 1 o 2 soluzioni.

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