Ogni funzione contiene due tipi di variabili: quelle indipendenti e quelle dipendenti, il valore delle seconde "dipende" letteralmente da quello delle prime. Ad esempio, nella funzione y = f(x) = 2x + y, x è la variabile indipendente e y è dipendente (in altri termini, y è una funzione di x). L'insieme dei valori validi che vengono assegnati alla variabile indipendente x è chiamato "dominio". L'insieme dei valori validi assunti dalla variabile dipendente y è detto "codominio".[1]

Parte 1 di 3:
Trovare il Dominio di una Funzione

  1. 1
    Determina il tipo di funzione in esame. Il dominio di una funzione è rappresentato da tutti i valori di x (disposti sull'asse delle ascisse) che fanno assumere alla variabile y un valore valido. La funzione potrebbe essere quadratica, una frazione oppure contenere delle radici. Per calcolare il dominio di una funzione, devi prima valutare i termini che contiene.
    • Un'equazione di secondo grado rispetta la forma: ax2 + bx + c.[2] Ad esempio: f(x) = 2x2 + 3x + 4.
    • Le funzioni con frazioni includono: f(x) = (1/x), f(x) = (x + 1)/(x – 1) e via discorrendo.
    • Le equazioni con una radice assumono questo aspetto: f(x) = √x, f(x) = √(x2 + 1), f(x) = √-x e via dicendo.
  2. 2
    Scrivi il dominio rispettando la corretta notazione. Per definire il dominio di una funzione devi usare sia le parentesi quadre [,] sia quelle tonde (,). Usi quelle quadre quando l'estremo dell'insieme è incluso nel dominio, mentre devi optare per quelle tonde se l'estremo dell'insieme non è incluso. La lettera maiuscola U indica l'unione fra due parti del dominio che possono essere separate da una porzione di valori esclusi dal dominio.[3]
    • Ad esempio, il dominio [-2, 10) U (10, 2] include i valori di -2 e 2, ma esclude il numero 10.
    • Usa sempre le parentesi tonde quando devi utilizzare il simbolo di infinito, ∞.
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    Traccia il grafico dell'equazione di secondo grado. Questo tipo di funzione genera una parabola che può essere rivolta verso l'alto o verso il basso. Tale parabola continua la sua estensione all'infinito, ben oltre l'asse delle ascisse che hai tracciato. Il dominio della maggior parte delle funzioni quadratiche è l'insieme di tutti i numeri reali. In altre parole, un'equazione di secondo grado include tutti i valori di x rappresentati sulla linea dei numeri, di conseguenza il suo dominio è R (il simbolo che indica l'insieme di tutti i numeri reali).[4]
    • Per determinare il tipo di funzione in esame, assegna un qualunque valore a x e inseriscilo nell'equazione. Risolvila in base al valore scelto e trova il numero corrispondente per y. La coppia di valori di x e di y rappresenta le coordinate (x;y) di un punto sul grafico della funzione.
    • Individua il punto con queste coordinate e ripeti il procedimento per un altro valore di x.
    • Se tracci alcuni punti ricavati con questo metodo sul sistema di assi cartesiani, puoi avere un'idea approssimativa della forma della funzione quadratica.
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    Imposta il denominatore pari a zero, se la funzione è una frazione. Quando lavori con una frazione, non puoi mai dividere il numeratore per zero. Se imponi il denominatore pari a zero e risolvi l'equazione per x, trovi i valori che dovranno essere esclusi dalla funzione.[5]
    • Ad esempio, supponiamo di dover trovare il dominio di f(x) = (x + 1)/(x - 1).
    • Il denominatore della funzione è (x - 1).
    • Imponi il denominatore pari a zero e risolvi l'equazione per x: x – 1 = 0, x = 1.
    • A questo punto, puoi scrivere il dominio che non può includere il valore 1 bensì tutti i numeri reali eccetto 1. Quindi il dominio scritto nella notazione corretta è: (-∞, 1) U (1, ∞).
    • La notazione (-∞, 1) U (1, ∞) può essere letta come: tutti i numeri reali eccetto 1. Il simbolo di infinito (∞) rappresenta tutti i numeri reali. In questo caso, tutti quelli maggiori e minori di 1 fanno parte del dominio.
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    Imponi i termini all'interno della radice quadrata come pari o maggiori di zero, se stai lavorando con un'equazione di radici. Poiché non puoi estrarre la radice quadrata di un numero negativo, devi escludere dal dominio tutti i valori di x che conducono a un radicando inferiore a zero.[6]
    • Ad esempio, identifica il dominio di f(x) = √(x + 3).
    • Il radicando è (x + 3).
    • Imponi questo valore pari o maggiore di zero: (x + 3) ≥ 0.
    • Risolvi la disequazione per x: x ≥ -3.
    • Il dominio della funzione è rappresentato da tutti i numeri reali maggiori o uguali a -3, quindi: [-3, ∞).
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Parte 2 di 3:
Trovare il Codominio di una Funzione Quadratica

  1. 1
    Accertati che si tratti di una funzione quadratica. Questo tipo di equazione rispetta la forma: ax2 + bx + c, ad esempio f(x) = 2x2 + 3x + 4. La rappresentazione grafica di una funzione quadratica è una parabola rivolta verso l'alto o verso il basso. Ci sono diversi metodi per calcolare il codominio di una funzione in base a quale tipologia appartiene.[7]
    • Il modo più semplice per trovare il codominio di altre funzioni, come quelle frazionarie o con radici, è quello di tracciarne il grafico con una calcolatrice scientifica.
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    Trova il valore di x al vertice della funzione. Il vertice di una funzione di secondo grado è la "punta" della parabola. Ricorda che questo genere di equazioni rispetta la forma: ax2 + bx + c. Per trovare la coordinata sulle ascisse usa l'equazione x = -b/2a. Questa equazione è una derivata dalla funzione quadratica base con pendenza pari a zero (al vertice del grafico la pendenza della funzione – o coefficiente angolare – è nulla).[8]
    • Ad esempio, trova il codominio di 3x2 + 6x -2.
    • Calcola la coordinata di x al vertice x = -b/2a = -6/(2*3) = -1;
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    Calcola il valore di y al vertice della funzione. Inserisci il valore delle ordinate al vertice nella funzione e trova il corrispettivo numero delle ordinate. Il risultato indica l'estremo del codominio della funzione.
    • Calcola la coordinata di y: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
    • Le coordinate al vertice di questa funzione sono (-1; -5).
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    Determina la direzione della parabola inserendo nell'equazione almeno un altro valore per x. Scegli un altro numero da assegnare alle ascisse e calcola l'ordinata corrispondente. Se il valore di y si trova sopra il vertice, allora la parabola prosegue verso +∞. Se il valore si trova sotto il vertice, la parabola si estende a -∞.
    • Imponi a x il valore di -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
    • Dai calcoli ottieni la coppia di coordinate (-2; -2).
    • Questa coppia ti fa capire che la parabola continua sopra il vertice (-1; -5); quindi il codominio include tutti i valori di y maggiori di -5.
    • Il codominio di questa funzione è [-5, ∞).
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    Scrivi il codominio con la notazione corretta. Questa è identica a quella utilizzata per il dominio. Adotta le parentesi quadre quando l'estremo è incluso nel codominio e quelle tonde per escluderlo. La lettera maiuscola U indica l'unione fra due parti del codominio che sono separate da una porzione di valori non inclusi.[9]
    • Ad esempio, il codominio pari a [-2, 10) U (10, 2] include i valori -2 e 2, ma esclude 10.
    • Usa sempre le parentesi tonde quando devi considerare il simbolo di infinito, ∞.
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Parte 3 di 3:
Trovare Graficamente il Codominio di una Funzione

  1. 1
    Traccia il grafico. Spesso il modo più semplice per trovare il codominio di una funzione è quello di disegnarne il grafico. Molte funzioni con radici hanno un codominio di (-∞, 0] o [0, +∞) perché il vertice della parabola orizzontale si trova sull'asse delle ascisse. In questo caso, la funzione include tutti i valori positivi di y, se la semiparabola va verso l'alto, e tutti i valori negativi, se la semiparabola va verso il basso. Le funzioni con frazioni hanno degli asintoti che definiscono il codominio.[10]
    • Alcune funzioni con radicali hanno un grafico che ha origine sopra o sotto l'asse delle ascisse. In questo caso, il codominio è determinato dal punto in cui inizia la funzione. Se la parabola ha origine in y = -4 e tende a salire, allora il suo codominio è [-4, +∞).
    • Il modo più semplice per tracciare il grafico di una funzione è quello di usare una calcolatrice scientifica o un programma dedicato.
    • Se non hai una calcolatrice di questo tipo, puoi tracciare uno schizzo su carta inserendo nella funzione dei valori per x e calcolando i corrispondenti per y. Trova sul grafico i punti con le coordinate che hai calcolato, per avere un'idea della forma della curva.
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    Trova il minimo della funzione. Quando hai disegnato il grafico, dovresti riuscire a identificare chiaramente il punto di minino. Se non esiste un minimo ben definito, sappi che alcune funzioni tendono a -∞.
    • Una funzione con frazioni includerà tutti i punti tranne quelli che si trovano sull'asintoto. In tal caso, il codominio assume valori come (-∞, 6) U (6, ∞).
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    Trova il massimo della funzione. Anche in questo caso, la rappresentazione grafica è di grande aiuto. Tuttavia, alcune funzioni tendono a +∞ e, di conseguenza, non hanno un massimo.
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    Scrivi il codominio rispettando la giusta notazione. Proprio come con il dominio, anche il codominio deve essere espresso con delle parentesi quadre quando l'estremo è incluso e con delle tonde quando il valore estremo è escluso. La lettera maiuscola U indica l'unione fra due parti del codominio che sono separate da una porzione che non ne fa parte.[11]
    • Ad esempio, il codominio [-2, 10) U (10, 2] include i valori di -2 e 2, ma esclude 10.
    • Quando utilizzi il simbolo di infinito, ∞, usa sempre le parentesi tonde.
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