Come Trovare l'Area di un Triangolo Isoscele

Co-redatto da Lo Staff di wikiHow

Un triangolo isoscele è un tipo particolare di triangolo, in cui due lati sono identici fra loro. Questi due lati si congiungono con la base della figura (il terzo lato) formando due angoli di pari ampiezza. Inoltre, la proiezione del vertice creato dall'incontro dei due lati uguali sulla base cade esattamente nel suo punto medio, cioè la suddivide in due segmenti identici. Puoi verificare queste informazioni tu stesso, utilizzando un righello e due matite che abbiano la stessa lunghezza: se provi a inclinare il triangolo in una direzione o nell'altra, variando la posizione del vertice rispetto alla base, non riuscirai più a unire le punte delle due matite. Queste proprietà speciali dei triangoli isosceli permettono di calcolarne l'area partendo da pochissime informazioni.

Metodo 1

Metodo 1 di 2:

Utilizzare la Lunghezza dei Lati

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Ripassa il metodo per calcolare l'area di un parallelogramma. I quadrati e i rettangoli sono parallelogrammi, così come qualunque forma geometrica che abbia quattro lati in cui quelli opposti sono paralleli fra loro. La formula per calcolare l'area di un parallelogramma è molto semplice: basta infatti moltiplicare la base per l'altezza, $A=b\times h$ $A=b\times h$ .^{[1]
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Fonte di ricerca} Se si posiziona un parallelogramma su una superficie orizzontale e piana, la base risulta essere il lato su cui poggia la figura, mentre l'altezza (come prevedibile) è la misura compresa fra il punto più alto e la superficie su cui è appoggiato, cioè la distanza fra il lato inferiore (la base) e quello opposto. L'altezza va sempre misurata perpendicolarmente alla base (cioè con un angolo di 90° rispetto a quest'ultima).
- Quando si studia un quadrato o un rettangolo, l'altezza è pari alla lunghezza di uno dei due lati perpendicolari alla base, dato che formano un angolo di 90° con quest'ultima.
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Confronta i triangoli e i parallelogrammi. Esiste una relazione molto semplice fra queste due figure geometriche. Qualunque parallelogramma può essere suddiviso in due triangoli identici. Allo stesso modo, avendo due triangoli uguali è sempre possibile unirli per dare vita a un parallelogramma. Questo significa che l'area di un qualunque triangolo può essere calcolata nel seguente modo: $A={\frac {b\times h}{2}}$ . Si deduce quindi che è pari esattamente alla metà dell'area del parallelogramma corrispondente.
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Individua la base di un triangolo isoscele. Giunti a questo punto, abbiamo la formula per calcolare l'area di un triangolo, ma come possiamo individuare con esattezza la base e l'altezza di un triangolo isoscele? Individuare la base è molto semplice, dato che corrisponde al terzo lato della figura: quello diverso dagli altri due.
- Ad esempio, ipotizzando di studiare un triangolo isoscele avente due lati lunghi 5 cm e il terzo lungo 6 cm, come base si utilizzerà quest'ultimo.
- Nel caso di un triangolo equilatero (in cui tutti i lati sono uguali) il problema non si pone, dato che come base si può scegliere uno qualunque dei lati. Il triangolo equilatero è un modello speciale di triangolo, ma la formula per calcolarne l'area è sempre la stessa.^{[2]
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  Fonte di ricerca}
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Traccia una linea perpendicolare alla base partendo dal vertice opposto. Assicurati che tale segmento formi un angolo di 90° con la base della figura. La lunghezza di questo segmento rappresenta l'altezza del triangolo e può essere etichettata con la lettera h. Una volta che avremo calcolato il valore di h, potremo procedere a calcolare l'area del nostro triangolo.
- In un triangolo isoscele, la retta che rappresenta l'altezza divide sempre la base in due segmenti identici.
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Concentra l'attenzione su uno dei due triangoli in cui è stato suddiviso quello originale. Nota come la retta che rappresenta l'altezza del triangolo isoscele di partenza lo suddivide in due triangoli rettangoli identici fra loro. Passiamo a studiarne uno identificando i relativi lati che lo compongono:
- Il cateto più corto misura esattamente la metà della base del triangolo isoscele, quindi sarà pari a ${\frac {b}{2}}$ .
- L'altro cateto è esattamente pari all'altezza del triangolo isoscele, quindi sarà uguale a h.
- L'ipotenusa è uguale a uno dei due lati obliqui del triangolo di partenza, quindi lo chiameremo l.
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Imposta la formula del Teorema di Pitagora. Ogni qualvolta si conosce la lunghezza dei due cateti di un triangolo rettangolo, è possibile avvalersi del Teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza dell'ipotenusa: $cateto1^{2}+cateto2^{2}=ipotenusa^{2}$ $cateto1^{{2}}+cateto2^{{2}}=ipotenusa^{{2}}$ . Sostituisci le variabili della formula con i valori noti relativi al problema in esame ottenendo: $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=l^{2}$ $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=l^{2}$ .
- Molto probabilmente a scuola hai studiato la formula del Teorema di Pitagora in questa forma: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Utilizzando le diciture "cateto1", "cateto2" e "ipotenusa" si evita di fare confusione utilizzando le variabili del triangolo in esame.
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Risolvi l'equazione in base a h. Ricorda che la formula per calcolare l'area di un triangolo utilizza la base (b) e l'altezza (h), ma in questo momento la misura di quest'ultima è ancora sconosciuta. Risolvi l'equazione ottenuta nel passaggio precedente in base alla variabile h:
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=l^{2}$
  $h^{2}=l^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}l^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$ .
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Sostituisci le variabili con i valori noti relativi al problema in esame per calcolare la misura di h. Adesso che abbiamo la formula inversa del Teorema di Pitagora possiamo utilizzarla con qualunque triangolo isoscele di cui conosciamo la lunghezza dei lati. Sostituisci nella formula il valore della base con la variabile b e la variabile s con la misura di uno dei due lati obliqui. Adesso non resta che effettuare i calcoli per trovare il valore di h.
- Ad esempio, ipotizzando di avere un triangolo isoscele i cui lati uguali misurano 5 cm e la base 6 cm, la variabile b sarà uguale a 6 e l a 5.
- Sostituendo tali valori nella formula inversa del Teorema di Pitagora otterremo:
  $h={\sqrt {(}}l^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4$ cm.
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Utilizza la lunghezza della base e dell'altezza per calcolare l'area del triangolo isoscele in esame. Adesso che possediamo tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno, possiamo usare la formula descritta all'inizio di questa sezione: $Area={\frac {b\times h}{2}}$ $Area={\frac {b\times h}{2}}$ . Procedi sostituendo i valori di b e di h all'interno della formula, quindi svolgi i calcoli. Ricorda che l'area di una superficie piana va sempre espressa con unità di misura quadrate.
- Continuando con il nostro triangolo di esempio, caratterizzato da una base di 6 cm e da un'altezza di 4 cm, otterremo:
- $A={\frac {b\times h}{2}}$
  $A={\frac {6{\text{ cm}}\times 4{\text{ cm}}}{2}}$
  $A=12{\text{ cm}}^{2}$ .
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Prova ad affrontare un problema più difficile. Per la maggior parte, i problemi basati sui triangoli isosceli sono molto più difficili da risolvere rispetto a quello usato come esempio in questa sezione. Spesso la misura dell'altezza contiene un radicale che non è possibile semplificare con un numero intero. In tal caso, esprimi l'altezza con il radicale ottenuto lasciandolo nella sua forma più semplice. Ecco un esempio pratico:
- Qual è l'area di un triangolo avente i lati che misurano rispettivamente 8, 8 e 4 cm?
- Ipotizziamo che il lato diverso dagli altri, 4 cm, sia la base (b).
- L'altezza sarà quindi pari a $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$
- Semplifichiamo la radice quadrata individuando i suoi fattori primi: $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}$
- L'area sarà quindi pari a: ${\frac {1}{2}}\times b\times h$
  $={\frac {1}{2}}\times (4)\times (2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}$
- A questo punto, puoi scegliere di lasciare la risposta finale in forma di radicale oppure, usando una calcolatrice, puoi convertirla in un numero decimale ottenendo un valore arrotondato di 15,49 cm².
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Metodo 2

Metodo 2 di 2:

Utilizzare la Trigonometria

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Supponi di avere a disposizione la misura di un lato e l'ampiezza di un angolo del triangolo. Conoscendo un po' di trigonometria è possibile calcolare l'area di un triangolo isoscele pur non avendo a disposizione la misura di tutti i suoi lati. Ecco un esempio pratico in cui le informazioni di partenza sono le seguenti:^{[3]
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Fonte di ricerca}
- La lunghezza dei due lati uguali, l, è pari a 10 cm.
- L'angolo θ compreso fra i due lati del triangolo misura 120°.
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Suddividi il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli. Traccia una linea perpendicolare alla base partendo dal vertice opposto. Assicurati che tale retta formi un angolo di 90° con la base del triangolo. A questo punto, hai ottenuto due triangoli rettangoli identici.
- La stessa retta suddivide anche l'angolo θ perfettamente a metà. Entrambi i triangoli rettangoli risultanti avranno un angolo pari a ${\frac {\theta }{2}}$ , che in questo caso sarà di 60°.
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Utilizziamo la trigonometria per calcolare il valore di h. Adesso che abbiamo suddiviso il triangolo isoscele di partenza in due triangoli rettangoli, possiamo utilizzare le funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente per calcolare la relativa altezza. Nel nostro problema di esempio conosciamo la lunghezza dell'ipotenusa e l'ampiezza dell'angolo adiacente. La trigonometria ci insegna che il coseno dell'angolo adiacente all'ipotenusa è pari al rapporto fra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa stessa. Quindi possiamo utilizzare questa formula per calcolare il valore di h:
- ${\text{cos}}({\frac {\theta }{2}})={\frac {h}{l}}$
- ${\text{cos(60°)}}={\frac {h}{10}}$
- $h=10\times {\text{cos(60°)}}$
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Calcola la lunghezza dell'ultimo lato ancora sconosciuto. La misura del lato più corto del triangolo rettangolo in esame, la base, non è ancora noto, quindi lo chiameremo x. Anche in questo caso la trigonometria ci insegna che il seno dell'angolo adiacente all'ipotenusa è pari al rapporto fra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa stessa. Quindi possiamo utilizzare questa formula per calcolare il valore di x:
- ${\text{sin}}({\frac {\theta }{2}})={\frac {x}{l}}$
- ${\text{sin(60°)}}={\frac {x}{10}}$
- $x=10\times {\text{sin(60°)}}$
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Esamina la relazione di x con la base del triangolo isoscele di partenza. Esaminando quest'ultimo, possiamo dedurre che la sua base, b, è pari a due volte x. Questo è vero perché la retta che rappresenta l'altezza del triangolo isoscele ha suddiviso la relativa base in due segmenti identici con lunghezza pari a x.
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Sostituisci i valori di h e b all'interno della formula di base. Adesso che conosciamo la lunghezza della base e dell'altezza possiamo utilizzare la formula classica per ricavare l'area ottenendo:
- $A={\frac {1}{2}}\times b\times h$
  $={\frac {1}{2}}\times (2x)\times (10\times {\text{cos(60°)}})$
  $=(10\times {\text{sin(60°)}})\times (10\times {\text{cos(60°)}})$
  $=100\times {\text{sin(60°)}}\times {\text{cos(60°)}}$
- Imposta una calcolatrice scientifica sui gradi, quindi usala per eseguire il calcolo indicato. Dovresti ottenere un risultato di circa 43,3 cm². In alternativa, puoi usare le proprietà della trigonometria per semplificare la formula precedente in $A=50\times {\text{sin(120°)}}$ .
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Trasforma quello che hai ottenuto in una formula generale. Adesso che sai come si affronta un problema di questo tipo, puoi utilizzare la formula che hai ricavato e trasformarla in una formula più generale e immediata, senza dover passare ogni volta per l'intero processo di deduzione logica. Di seguito trovi la formula finale da utilizzare, ottenuta ripetendo l'intero processo senza utilizzare valori specifici, ma mantenendo le variabili (e applicando le opportune semplificazioni utilizzando le proprietà trigonometriche):^{[4]
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Fonte di ricerca}
- $A={\frac {1}{2}}\times l^{2}\times sin(\theta )$
- l è la lunghezza di uno dei due lati uguali di un triangolo isoscele.
- θ è l'angolo compreso fra i due lati uguali di un triangolo isoscele.
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Consigli

Se devi studiare un triangolo isoscele rettangolo (composto da due lati uguali che formano un angolo di 90°), calcolarne l'area sarà molto più semplice. Se utilizzi uno dei due lati più corti come base, automaticamente l'altro assumerà il ruolo di altezza della figura. A questo punto puoi calcolarne l'area utilizzando la formula classica, $A={\frac {b\times h}{2}}$ , che risulta più semplice della seguente $A={\frac {l^{2}}{2}}$ , dove $l$ rappresenta la lunghezza del lato più corto.
Ricorda che le radici quadrate ammettono due soluzioni, una positiva e una negativa, ma quando si applicano al campo della geometria puoi ignorare quelle negative. Il motivo è semplice e risiede nel fatto che un triangolo non può avere un lato con una lunghezza "negativa".
Alcuni problemi di trigonometria potrebbero fornire dei dati iniziali diversi da quelli proposti in questo articolo. Ad esempio, la lunghezza della base del triangolo, l'ampiezza di uno degli angoli e il fatto che si sta studiando un triangolo isoscele. In questo caso il ragionamento di base non cambia: dividi il triangolo di partenza in due triangoli rettangoli per poi calcolarne l'altezza utilizzando le funzioni di trigonometria.